가환대수학

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추상대수학의 한 분야인 가환대수학(可換代數學, 영어: commutative algebra)은 가환환과 그 아이디얼 및 가환환상의 가군을 연구한다. 대수기하학대수적 수론은 둘 다 가환대수학을 기초로 한다. 가환환의 주요한 예로는 다항식환, 대수적 정수의 환(여기에는 정수의 환 Z가 포함된다) 및 p진 정수의 환이 있다. 또한, 가환대수학은 스킴의 국소적 연구에 있어 주요한 도구가 된다.

가환대수학에 반대되는 개념은 가환하지 못할 수 있는 환들을 연구하는 분야인 비가환대수학이다. 여기에는 환론, 표현론바나흐 대수론이 포함된다.

전개[편집]

가환대수학에서는 대수적 수론대수기하학에서 등장하는 환들을 공통적으로 다룬다. 대수적 수론에서 등장하는 환들은 대수적 수체대수적 정수환이며, (유리) 정수환 \mathbb Z · 가우스 정수\mathbb Z[\sqrt{-1}] · 아이젠슈타인 정수\mathbb Z[\omega] 등이 있다. 대수기하학에서 등장하는 환들은 대수다양체 위의 정칙함수들의 환이며, 이들은 K[x_1,\dots,x_n]/I의 꼴이다 (K, I아이디얼).

이 두 종류의 환의 경우, 소 아이디얼이라는 개념이 공통적으로 존재한다. 수론적 관점에서, 소 아이디얼은 소수를 일반화한 개념이며, 기하학적 관점에서 소 아이디얼은 (기약) 부분 대수다양체를 일반화한 개념이다.

소 아이디얼을 기하학적으로 부분다양체로 해석할 경우, 이 부분다양체 근처에서의 정보만을 추출하는 연산을 생각할 수 있다. 이 연산을 소 아이디얼에서의 국소화라고 하며, 분수체의 정의를 일반화한 연산이다. 예를 들어, 아핀 공간 K[x_1,\dots,x_n]을 원점 (극대 아이디얼 (x_1,\dots,x_n))에서 국소화하면 원점 근처에서의 유리함수의 환

\{p/q\colon p,q\in K[x_1,\dots,x_n],\;q(0)\ne0\}

을 얻는다. 국소화하여 얻은 환을 다루기 위해서는, 보통 "형식적" 원소를 추가하는 것이 편하다. 이는 완비화라는 연산에 해당한다. 예를 들어, 원점에서의 유리함수의 환을 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수

K[[x_1,\dots,x_n]]

을 얻는다. 국소화와 완비화는 수론에서도 하세 원리(영어: Hasse principle)른 통해 널리 쓰인다. 예를 들어, 정수환 \mathbb Z를 소수 p로 생성되는 주 아이디얼에서 국소화한 뒤 완비화하면, p진 정수 \mathbb Z_p를 얻는다.

가환대수학에서 쓰이는 또다른 주요 원리로는 가환환 위의 가군에 대해 중점을 두는 것이다. 고전적 환론에서 에서만 정의되었던 많은 개념들은 환 위의 가군에 대하여 일반화할 수 있다. 모든 환은 스스로에 대한 가군으로 볼 수 있으며, 보통 어떤 성질 X를 만족시키는 환은 스스로에 대한 가군으로서 X를 만족시키는 환으로 여길 수 있다.

참고 문헌[편집]

  • (한국어) 永田雅宜 (1990년). 《가환환론》, 박종근 역, 학문사. ISBN 2007099001138
    • (일본어) 永田雅宜 (1974년). 《可換環論》. 紀伊國屋書店
  • (영어) Atiyah, Michael, Ian G. MacDonald (1969년). 《Introduction to Commutative Algebra》. Addison-Wesley
  • (영어) Eisenbud, David (1999년). 《Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry》. Springer
  • (영어) Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative Ring Theory》, Miles Reid 역, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, 2판, Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. MR1011461. ISBN 978-0-521-36764-6
  • (영어) Reid, Miles (1996년 4월). 《Undergraduate Commutative Algebra》, London Mathematical Society Student Texts 29, Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139172721. MR1458066. ISBN 978-0-521-45889-4

바깥 고리[편집]