스킴 (수학)

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대수기하학에서, 스킴(영어: scheme, 프랑스어: schéma)은 국소적으로 가환환스펙트럼과 동형인 공간이다. 대수다양체대수적 수체들의 공통적인 일반화이다.

정의[편집]

아핀 스킴(affine scheme)은 (1이 있는) 어떤 가환환의 스펙트럼동형국소환 달린 공간이다. 스킴은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 국소환 달린 공간이다. 즉, 국소환 달린 공간 X열린 덮개 \{U_\alpha\}를 가져, 각 U_\alpha가 아핀 스킴을 이루는 경우 X를 스킴이라고 한다.

스킴의 범주[편집]

스킴(과 국소환 달린 공간으로서의 사상)의 범주 \operatorname{Sch}는 다음과 같은 성질을 지닌다.

  • 유한 X_1\times\dotsb\times X_n이 존재한다. 다만, 일반적으로 스킴의 곱은 위상공간으로서의 곱과 다르다.
  • 끝 대상이 존재하며, \operatorname{Spec}\mathbb Z이다. 이는 \mathbb Z가 가환환의 범주 \operatorname{CRing}시작 대상이기 때문이다.
  • 시작 대상이 존재하며, \operatorname{Spec}0 (자명한 환 \{0\}의 스펙트럼)이다. 이는 자명한 환 0이 가환환의 범주 \operatorname{CRing}끝 대상이기 때문이다.
  • 당김(pullback) X\times_ZY가 존재한다. 이 때 Z=\operatorname{Spec}\mathbb Z로 놓으면 이는 일반적인 곱이 된다.

스킴과 대수다양체의 관계[편집]

대수적으로 닫힌 체 k에 대한 대수다양체의 범주를 \operatorname{Var}_k라고 하자.\operatorname{Sch}_kk에 대한 스킴의 범주 (즉, 사상 X\to\operatorname{Spec}k가 갖추어진 스킴과 이 사상에 대하여 가환하는 사상들의 범주)라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자 t\colon\operatorname{Var}_k\to\operatorname{Sch}_k가 존재한다.[1]:78

대수다양체 V에 대하여, t(V)V자리스키 위상 아래 닫힌 집합들의 집합이라고 하자. t(V) 위에 위상을, 닫힌 집합의 t에 대한 들이 닫힌 것으로 정의하자. 그렇다면 함수 \alpha\colon x\to\{x\}연속함수이다. \mathcal O_VV 위의 다항식함수들의 이라고 하자. 그렇다면 층의 (image) \alpha_*\mathcal O_Vt(V) 위의 환의 층 구조를 이룬다. 이에 따라 t(V)국소환 달린 공간의 구조를 갖춘다. 이 사상에 따라, 아핀 다양체의 이 아핀 스킴임을 보일 수 있다. 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체인 공간이고, 스킴은 국소적으로 아핀 스킴인 공간이므로, t가 대수다양체에서 스킴으로의 함자임을 보일 수 있다. 또한, 이 스킴 t(V)의 경우, 상수함수로 인하여 정의되는 사상 t(V)\to\operatorname{Spec}k가 존재한다. 따라서 t(V)k에 대한 스킴이다. 이 함자는 충실충만한 함자이다.[1]:79 이 함자의 상은 유한형(finite type) 정역(integral) 분리된(separated) 스킴이다.[1]:105

스킴의 종류[편집]

스킴 이론에서는 수많은 기술적인 용어들이 사용된다. 스킴 자체의 성질에는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 축소 스킴(영어: reduced scheme)은 모든 열린 집합 U\subset X에서 구조층 \mathcal O_X(U)축소환인(0이 아닌 멱영원을 갖지 않는) 스킴 X이다.
  • 기약 스킴(영어: irreducible scheme)은 두 닫힌 진부분집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 스킴이다. 즉, 두 닫힌 진부분집합 X_1,X_2\subset X, X_1,X_2\ne X가 주어졌을 때 항상 X_1\cup X_2\ne X인 스킴 X이다.
  • 정역 스킴(영어: integral scheme)은 모든 열린 집합 U\subset X에서 구조층 \mathcal O_X(U)정역인 스킴 X이다.[1]:82
    • 정역 스킴의 조건은 축소 기약 스킴의 조건과 동치이다.
  • 국소 뇌터 스킴(영어: locally Noetherian scheme)은 뇌터 환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재하는 스킴이다. 뇌터 스킴(영어: Noetherian scheme)은 유한개의 뇌터 환들의 스펙트럼으로 구성된 열린 덮개가 존재하는 스킴이다.[1]:83 즉, 뇌터 스킴은 콤팩트 국소 뇌터 스킴이다.

스킴 사상의 종류[편집]

상당수의 형용사는 두 스킴 사이의 사상에 적용된다. 스킴 사이의 사상은 보통 계수체/환이 주어져 있는 스킴으로 여길 수 있으므로, 이러한 형용사는 스킴에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 유한형 k-스킴 X는 그 사상 X\to\operatorname{Spec}k이 유한형인 스킴이다.

  • 스킴 S가 주어지면, S에 대한 스킴(영어: S-scheme 또는 영어: scheme over S)은 사상 X\to S가 갖추어진 스킴 X이다.[1]:78 특히, k라면, k에 대한 스킴은 사상 X\to\operatorname{Spec}k가 갖추어진 스킴 X이다.
  • 두 스킴 사이의 유한형 사상(영어: morphism of finite type) f\colon X\to Y는 다음 성질을 만족하는 사상이다.[1]:84
Y 위에 아핀 스킴들로 구성된 덮개 \{\operatorname{Spec}S_i\}_{i\in I}를 잡자. 각 S_i에 대하여, f^{-1}(\operatorname{Spec}S_i)의 아핀 스킴으로 구성된 유한 덮개 \{\operatorname{Spec}R_{ij}\}_{j\in J_i}가 존재하여, S_i\to R_{ij}S_i에 대한 유한 생성 대수인 경우, f유한형 사상이라고 한다. 만약 덮개 \{R_{ij}\}_{j\in J_i}들이 유한 덮개여야 한다는 조건을 생략하면, f국소 유한형 사상(영어: morphism of locally finite type)이라고 한다.
  • 두 스킴 사이의 유한 사상(영어: finite morphism) f\colon X\to Y는 다음 성질을 만족하는 사상이다.[1]:84
Y 위에 아핀 스킴들로 구성된 덮개 \{\operatorname{Spec}S_i\}_{i\in I}를 잡자. 각 S_i에 대하여, f^{-1}(\operatorname{Spec}S_i)가 아핀 스킴 f^{-1}(\operatorname{Spec}S_i)=\operatorname{Spec}R_i이고, S_i\to R_iS_i에 대한 유한 생성 대수인 경우, f유한 사상이라고 한다.
이에 따라, 모든 유한 사상은 유한형 사상이다. 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.
  • 닫힌 몰입(영어: closed immersion) f\colon X\to Yf(X)X위상동형이며 f^{\#}\colon\mathcal O_Y\to\mathcal O_X가 전사사상인 사상이다.
  • 분리된 사상(영어: separated morphism f\colon X\to Yf\times_ff가 닫힌 몰입인 사상이다.
    • 분리된 스킴(영어: separated scheme)은 X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z가 분리된 사상인 스킴 X이다.

역사[편집]

스킴은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 《대수기하학 원론》(프랑스어: Éléments de géométrie algébrique) 1권[2]에서 처음으로 정의하였다.

원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 초판[2]에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 분리된(separated) "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판[3]에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9
  2. (프랑스어) Grothendieck, Alexander, Jean Dieudonné (1960년). Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 4 (1): 5–214. doi:10.1007/BF02684778. MR0217083. Zbl 0118.36206. ISSN 0073-8301.
  3. (프랑스어) Grothendieck, Alexander, Jean Dieudonné (1971년). 《Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas》, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 166, 2판, Springer. Zbl 0203.23301

바깥 고리[편집]