스킴 (수학)

대수기하학에서, 스킴(영어: scheme, 프랑스어: schéma)은 어떤 대수적인 구조를 지닌 공간의 일종으로, 대수기하학의 기본적인 연구 대상이다. 국소적으로 아핀 스킴(환의 스펙트럼)처럼 보이는 국소환 달린 공간이다. 대수다양체를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의

아핀 스킴(affine scheme)은 (1이 있는) 어떤 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다. 스킴은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 국소환 달린 공간이다. 즉, 국소환 달린 공간 $X$가 열린 덮개 $\{U_\alpha\}$를 가져, 각 $U_\alpha$가 아핀 스킴을 이루는 경우 $X$를 스킴이라고 한다.

스킴의 범주

스킴(과 국소환 달린 공간으로서의 사상)의 범주 $\operatorname{Sch}$는 다음과 같은 성질을 지닌다.

• 유한 곱 $X_1\times\dotsb\times X_n$이 존재한다. 다만, 일반적으로 스킴의 곱은 위상공간으로서의 곱과 다르다.
• 끝 대상이 존재하며, $\operatorname{Spec}\mathbb Z$이다. 이는 $\mathbb Z$가 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$의 시작 대상이기 때문이다.
• 시작 대상이 존재하며, $\operatorname{Spec}0$ (자명한 환 $\{0\}$의 스펙트럼)이다. 이는 자명한 환 $0$이 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$의 끝 대상이기 때문이다.
• 당김(pullback) $X\times_ZY$가 존재한다. 이 때 $Z=\operatorname{Spec}\mathbb Z$로 놓으면 이는 일반적인 곱이 된다.

스킴과 대수다양체의 관계

대수적으로 닫힌 체 $k$에 대한 대수다양체의 범주를 $\operatorname{Var}_k$라고 하자.$\operatorname{Sch}_k$는 $k$에 대한 스킴의 범주 (즉, 사상 $X\to\operatorname{Spec}k$가 갖추어진 스킴과 이 사상에 대하여 가환하는 사상들의 범주)라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 펑터 $t\colon\operatorname{Var}_k\to\operatorname{Sch}_k$가 존재한다. (Hartshorne p. 78)

대수다양체 $V$에 대하여, $t(V)$를 $V$의 자리스키 위상 아래 닫힌 집합들의 집합이라고 하자. $t(V)$ 위에 위상을, 닫힌 집합의 $t$에 대한 상들이 닫힌 것으로 정의하자. 그렇다면 함수 $\alpha\colon x\to\{x\}$는 연속함수이다. $\mathcal O_V$가 $V$ 위의 다항식함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 층의 상(image) $\alpha_*\mathcal O_V$는 $t(V)$ 위의 환의 층 구조를 이룬다. 이에 따라 $t(V)$는 국소환 달린 공간의 구조를 갖춘다. 이 사상에 따라, 아핀 다양체의 상이 아핀 스킴임을 보일 수 있다. 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체인 공간이고, 스킴은 국소적으로 아핀 스킴인 공간이므로, $t$가 대수다양체에서 스킴으로의 펑터임을 보일 수 있다. 또한, 이 스킴 $t(V)$의 경우, 상수함수로 인하여 정의되는 사상 $t(V)\to\operatorname{Spec}k$가 존재한다. 따라서 $t(V)$는 $k$에 대한 스킴이다. 이 펑터는 충실충만한 펑터이다 (Hartshorne p. 79). 이 펑터의 상은 유한형(finite type) 정역(integral) 분리된(separated) 스킴이다. (Hartshorne p. 105)

역사

스킴은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 대수기하학원론에서 처음으로 정의하였다. 이 언어를 발전시킨 것은 대수기하학 발전의 역사에 있어서 가장 위대한 혁명과 같은 일이었다.

원래 그로텐디크는 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "프리스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 특수한 "프리스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 오늘날에는 제약 없이 모든 프리스킴을 스킴이라고 부른다.

참고 문헌

• Eisenbud, David, Joe Harris (2000). 《The Geometry of Schemes》, Graduate Texts in Mathematics 197, Springer-Verlag. doi:10.1007/b97680. ISBN 978-0-387-98638-8
• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9
• Mumford, David (1999). 《The Red Book of Varieties and Schemes》, Lecture Notes in Mathematics 1358, 2판, Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1
• Liu, Qing (2002). 《Algebraic Geometry and Arithmetic Curves》. Oxford University Press. ISBN 0-19-850284-2

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Scheme. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Margherita Barile, Eric W. Weisstein. Affine Scheme. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.