크룰 차원

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가환대수학대수기하학에서, 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의[편집]

위상 공간의 차원[편집]

위상 공간 X기약 집합기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.[1]:3 X크룰 차원X의 기약 집합들의 사슬

I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n

의 길이들의 상한 n\in\mathbb N\cup\{+\infty,-\infty\}이다.[1]:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 -\infty이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다.

위상 공간 X열린 덮개 \{U_i\}_{i\in I}가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i

가군의 차원[편집]

가환환 R 위의 가군 M크룰 차원은 다음과 같다.[2]:226

\dim_RM=\dim\operatorname{Spec}(R/\operatorname{Ann}_R(M))

여기서

\operatorname{Ann}_R(M)=\{r\colon rM=0\}

M소멸자(영어: annihilator)이며, \operatorname{Spec}환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 M\operatorname{Spec}R 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

특수한 경우[편집]

가환환의 차원[편집]

R가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R소 아이디얼\mathfrak p_i가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset\mathbb N의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R크룰 차원H(R)상한이다.[1]:6 즉,

\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\} 자명환의 경우, 크룰 차원은 -\infty이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

  • R의 환으로서의 크룰 차원
  • 스펙트럼 \operatorname{Spec}R의 크룰 차원
  • R를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, R의 가군 크룰 차원

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이다.
  • 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:90, Theorem 8.5[2]:227, Corollary 9.1

일반적인 가환환 R에 대하여, 다음이 성립한다.

\dim R+1\le\dim R[x]\le2\dim R+1

만약 R뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.[2]:Corollary 10.13

\dim R[x]=1+\dim R

아이디얼의 높이[편집]

가환환 R소 아이디얼 \mathfrak p높이(영어: height) \operatorname{ht}_R\mathfrak p는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 n이다.

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n\subseteq\mathfrak p

이는 국소화 R_{\mathfrak p}의 크룰 차원과 같다.

\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}_R\mathfrak p

가환환 R아이디얼 \mathfrak a높이(영어: height) \operatorname{ht}_R\mathfrak a\mathfrak a를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

\operatorname{ht}_R\mathfrak a=\inf_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\operatorname{ht}_R\mathfrak p

(초른의 보조정리에 따라, \mathfrak a를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R여차원과 같다.

\operatorname{codim}_R(R/\mathfrak a)=\operatorname{ht}_R\mathfrak a

대수다양체의 차원[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:124–125

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 대수다양체 V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

뇌터 국소환의 차원[편집]

뇌터 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.[3]:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.

P(t)=\sum_{n=0}^\infty \ell(\mathfrak q^n/\mathfrak q^{n+1}))t^n\in\mathbb Z[[t]]
를 정의할 수 있다 (\mathfrak q^0=R, \ell가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, P(t)\in\mathbb Z(t)t=1에서의 극점의 차수를 d라고 하자. 이 값은 \mathfrak q의 선택에 관계없다.

이렇게 정의하면, 항상

\dim R=\delta=d<\infty

이다.

정칙 국소환의 차원[편집]

정칙 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.[3]:123, Theorem 11.22

  • 뇌터 국소환으로서의 차원 \dim R (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
  • \dim_{R/\mathfrak m}(\mathfrak m/\mathfrak m^2). 여기서 \dim_{R/\mathfrak m} R/\mathfrak m 위의 벡터 공간의 차원이다.
  • \mathfrak m의 최소 생성 집합의 크기
  • \textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong(R/\mathfrak m)[x_1,x_2,\dots,x_d]일 때, d. 여기서 \mathfrak m^0=R이다.

[편집]

가환환의 차원[편집]

크룰 차원이 -\infty인 유일한 가환환은 자명환이다.

소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n이다.[1]:6

자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 가환환 \mathbb Z/(n)의 크룰 차원은 다음과 같다.

\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}

위상 공간의 차원[편집]

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 X=\{0,1\}, \mathcal T=\{\varnothing,\{1\},X\}의 기약 집합은 \{0\}\{0,1\}이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

벡터 공간의 크룰 차원[편집]

K 위의 벡터 공간 V가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 \operatorname{Ann}_K(V)=(0)이며, \operatorname{Spec}(K/(0))=\operatorname{Spec}K는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

무한 차원의 뇌터 가환환[편집]

K에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

R=K[x_1,x_2,x_3,\dots]

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

0=n_1<n_2<n_3<n_4<\cdots

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

\mathfrak p_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots,x_n)\qquad(i=1,2,3,\dots)

을 생각하자. 그렇다면 R

S=K[x_1,x_2,x_3,\dots]\setminus\bigcup_{i=1}^\infty\mathfrak p_i

국소화하면, S^{-1}R뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

\dim S^{-1}R=\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}

이다. 만약 \sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}=\infty라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.[4]:Appendix, Example E1[2]:229, Exercise 9.6

역사[편집]

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Eisenbud, D. (1995). 《Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry》. New York: Springer-Verlag. 
  3. Atiyah, Michael; Ian G. MacDonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley. 
  4. Nagata, Masayoshi (1962). 《Local rings》 (영어). Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics 13. Wiley Interscience. 
  5. Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen” (독일어). 《Mathematische Zeitschrift28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]