크룰 차원

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가환대수학대수기하학에서, 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의[편집]

R가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R소 아이디얼\mathfrak p_i가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset\mathbb N의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R크룰 차원H(R)상한이다.[1]:6 즉,

\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}.

위상 공간 X기약 집합은 두 닫힌 집합합집합으로 나타낼 수 없는, 공집합이 아닌 닫힌 집합이다.[1]:3 X크룰 차원X의 기약 집합들의 사슬

I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n

의 최대 길이 n이다.[1]:5 가환환의 크룰 차원은 그 스펙트럼의 (위상 공간으로서의) 크룰 차원과 같으므로, 이 정의는 가환환의 크룰 차원의 정의를 일반화한다. 보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다.

성질[편집]

다음이 성립한다.

대수다양체의 차원[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 대수다양체 V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

[편집]

소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n이다.[1]:6

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 다른 위상과는 호환되지 않는다. 예를 들어, 표준적 위상을 준 유클리드 공간 \mathbb R^n은 공집합과 전체 집합 밖에는 기약 집합이 없으므로, n에 상관없이 크룰 차원이 1이다.

역사[편집]

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Krull, Wolfgang (1928-12-01). “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen” (독일어). 《Mathematische Zeitschrift28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179. 
  • Eisenbud, D. (1995). 《Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry》. New York: Springer-Verlag. 
  • Atiyah, M. F.; I. G. Macdonald (1969). 《Introduction to Commutative Algebra》. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 

바깥 고리[편집]