자리스키 위상

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대수기하학에서, 자리스키 위상(Zariski topology)은 대수다양체스킴에 일반적으로 주어지는 위상이다. 자리스키 위상에서는 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

아핀 대수다양체[편집]

\mathbb{A}^n의 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. 즉, 자리스키 위상이 주어진 공간 \mathbb{A}^n의 닫힌 집합은 다항식의 집합 S에 대해

V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}

로 주어지고, 이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것을 다음 성질을 확인함으로서 증명할 수 있다.

  • (S)가 S의 원소들로 생성된 아이디얼인 경우 V(S) = V((S))가 성립한다.
  • 임의의 n변수 다항식 아이디얼I, J에 대해
    1. V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);
    2. V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).

\mathbb{A}^n안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은 \mathbb{A}^n에 주어진 자리스키 위상의 부분공간 위상으로 정의된다.

아핀 스킴[편집]

1이 있는 가환환A에 대해, {\rm Spec} (A)A스펙트럼(모든 소 아이디얼들의 집합)이라고 하자. 자리스키 위상은 A의 아이디얼 I에 대해 다음 집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}

이것은 아핀 대수다양체에서 자리스키 위상공간 \mathbb{A}^n의 닫힌 집합 V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}을 조금 수정하여 확장한 것이다.

왜냐면 x \in \mathbb{A}^n, f(x) = 0, \forall f \in S f\in M_x, \forall f\in S과 동치 (M_x는 점x \in \mathbb{A}^n에 대응되는 극대 아이디얼), i.e,  S \subseteq M_x. 그래서 V(S) = \{M_x \in {\rm Max} (A) \mid S \subseteq M_x\} 으로 바꿔 표현할 수 있다.

이제 여기서 S를 포함하는 극대 아이디얼 뿐만이 아닌 S를 포함하는 소 아이디얼들까지 품는 좀더 큰 집합으로 생각한 것이

V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}

이라고 볼 수 있다. (주. I=(S) ; {\rm Max} (A) \subseteq {\rm Spec} (A))

성질[편집]

자리스키 위상은 유클리드 공간의 표준적인 위상과 크게 다른 성질들을 갖는다. 대체로, 자리스키 위상은 매우 거칠다. 즉, 열린 집합닫힌 집합이 충분히 존재하지 못한다.

예를 들어, 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한 차원 아핀 공간 \mathbb A^n을 생각하자. 이 경우:

  • \mathbb A^n의 모든 닫힌 진부분집합은 (적어도 하나의 다항식을 만족시켜야 하므로) n-1 이하의 차원을 갖는다. 즉, 닫힌 집합들은 매우 "작다".
  • 반대로, 닫힌 집합들의 여집합인 열린 집합들은 매우 "크다". 공집합이 아닌 임의의 두 열린 집합은 항상 교집합을 가지며, 공집합이 아닌 모든 열린 집합은 조밀집합이다.

(고전적 및 스킴) 자리스키 위상은 T1 위상이다. 하지만 유한체가 아닌 체에 대한 대수다양체는 항상 하우스도르프 공간이 아니다.

뇌터 스킴의 자리스키 위상은 뇌터 위상공간이다. 즉, 뇌터 스킴은 콤팩트 공간이며, 또한 뇌터 스킴의 모든 부분공간은 콤팩트 공간이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]