자리스키 위상

대수기하학에서, 자리스키 위상(Zariski topology)은 대수다양체나 스킴에 일반적으로 주어지는 위상이다. 자리스키 위상에서는 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

아핀 대수다양체

$\mathbb{A}^n$의 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. 즉, 자리스키 위상이 주어진 공간 $\mathbb{A}^n$의 닫힌 집합은 다항식의 집합 $S$에 대해

$V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}$

로 주어지고, 이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것을 다음 성질을 확인함으로써 증명할 수 있다.

• (S)가 S의 원소들로 생성된 아이디얼인 경우 V(S) = V((S))가 성립한다.
• 임의의 n변수 다항식 아이디얼I, J에 대해
  1. $V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);$
  2. $V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).$

$\mathbb{A}^n$안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은 $\mathbb{A}^n$에 주어진 자리스키 위상의 부분공간 위상으로 정의된다.

아핀 스킴

$1$이 있는 가환환$A$에 대해, ${\rm Spec} (A)$를 $A$의 스펙트럼(모든 소 아이디얼들의 집합)이라고 하자. 자리스키 위상은 A의 아이디얼 I에 대해 다음 집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

$V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}$

참고 문헌

• (영어) Hartshorne, Robin (1977). 《[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]》. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9
• (영어) David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》, 3판, New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Zariski Topology. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.