자리스키 위상

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대수기하학에서, 자리스키 위상(Zariski topology)은 대수다양체스킴에 일반적으로 주어지는 위상이다. 자리스키 위상에서는 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

아핀 대수다양체[편집]

\mathbb{A}^n의 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. 즉, 자리스키 위상이 주어진 공간 \mathbb{A}^n의 닫힌 집합은 다항식의 집합 S에 대해

V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}

로 주어지고, 이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것을 다음 성질을 확인함으로써 증명할 수 있다.

  • (S)가 S의 원소들로 생성된 아이디얼인 경우 V(S) = V((S))가 성립한다.
  • 임의의 n변수 다항식 아이디얼I, J에 대해
    1. V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);
    2. V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).

\mathbb{A}^n안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은 \mathbb{A}^n에 주어진 자리스키 위상의 부분공간 위상으로 정의된다.

아핀 스킴[편집]

1이 있는 가환환A에 대해, {\rm Spec} (A)A스펙트럼(모든 소 아이디얼들의 집합)이라고 하자. 자리스키 위상은 A의 아이디얼 I에 대해 다음 집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}

이것은 아핀 대수다양체에서 자리스키 위상공간 \mathbb{A}^n의 닫힌집합 V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}을 조금 수정하여 확장한 것이다.

왜냐면 x \in \mathbb{A}^n, f(x) = 0, \forall f \in S f\in M_x, \forall f\in S과 동치 (M_x는 점x \in \mathbb{A}^n에 대응되는 극대이데알), i.e,  S \subseteq M_x. 그래서 V(S) = \{M_x \in {\rm Max} (A) \mid S \subseteq M_x\} 으로 바꿔 표현할 수 있다.

이제 여기서 S를 품는 극대이데알 뿐만이 아닌 S를 품는 소 이데알들까지 품는 좀더 큰 집합으로 생각한 것이

V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}

이라고 볼 수 있다. (주. I=(S) ; {\rm Max} (A) \subseteq {\rm Spec} (A))

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]