상 (수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, (像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의[편집]

정의역X, 공역Y인 함수 f\colon X\to Y를 생각하자.

정의역의 원소 x\in X의, 함수 f에 대한 은 공역의 원소 f(x)\in Y이다. 정의역의 부분집합 S\subset X

f(S)=\{f(x)\colon x\in S\}\subset Y

이다.

공역의 원소 y\in Y의, 함수 f에 대한 원상은 정의역의 부분집합

f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subset X

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분집합 T\subset Y의, 함수 f에 대한 원상은 정의역의 부분집합

f^{-1}(T)=\{x\in X\colon f(x)\in T\}\subset X

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.