도달 불가능한 기수

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수학집합론에서 약하게 도달 불가능한 기수(weakly inaccessible cardinal)는 비가산 정칙 약극한기수를 말하며, 강하게 도달 불가능한 기수(strongly inaccessible cardinal) 혹은 간단히 도달 불가능한 기수(inaccessible cardinal)는 비가산 정칙 강극한기수를 말한다. 여기에서, 저자에 따라 비가산 조건을 넣지 않는 경우도 있다.

모든 강극한기수는 약극한기수이므로, 모든 강하게 도달 불가능한 기수는 약하게 도달 불가능하다. 일반 연속체 가설이 성립하는 경우, 이 두 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.

\aleph_0(알레프 영)은 가산 정칙 강극한기수이다. 선택공리를 가정하면, \aleph_0 이외의 모든 무한기수는 정칙기수 혹은 (약)극한기수이다. 그러나, 굉장히 큰 기수만이 두 조건을 함께 만족시켜서 약하게 도달 불가능한 기수가 된다.

주어진 순서수가 약하게 도달 불가능한 기수일 필요충분조건은 이것이 정칙순서수들의 극한이며 그 자신도 정칙순서수라는 것이다. (0, 1, \aleph_0 등은 정칙순서수이지만 정칙순서수들의 극한은 아니다.) 주어진 기수가 강하게 도달 불가능할 필요충분조건은 이것이 약하게 도달 불가능한 강극한기수라는 것이다.

강하게 도달 불가능한 기수의 존재성은 그로텐디크 전체의 개념과 밀접한 연관이 있다.

모형과 무모순성[편집]

ZFC를 가정할 때, 강하게 도달 불가능한 기수 κ에 대해 Vκ는 ZFC의 모형이다. (폰 노이만 전체 참고.) 또한 ZF를 가정할 때, 약하게 도달 불가능한 기수 κ에 대해 괴델 전체 Lκ는 ZFC의 모형이다. 따라서 ZF에 "약하게 도달 불가능한 기수가 존재한다"는 가정을 추가할 경우 ZFC가 무모순임을 보일 수 있으며, 이런 의미에서 도달 불가능한 기수는 일종의 큰 기수임을 알 수 있다.

함께 보기[편집]