도달 불가능한 기수

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집합론에서, 도달 불가능한 기수(到達不可能한基數, 영어: inaccessible cardinal)는 그보다 작은 기수의 덧셈·곱셈·거듭제곱으로 나타낼 수 없는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의[편집]

순서수 \alpha에 대하여, 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 약하게 도달 불가능한 기수(弱하게到達不可能한基數, 영어: weakly inaccessible cardinal)라고 한다.

기수 \kappa에 대하여, 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 도달 불가능한 기수라고 한다.

도달 불가능한 기수 공리(영어: inaccessible cardinal axiom)는 다음과 같은 명제이다.

  • 임의의 기수 \kappa에 대하여, \lambda>\kappa인 도달 불가능한 기수 \lambda가 존재한다.

이는 그로텐디크 전체 공리와 동치다.

성질[편집]

모든 강극한기수는 약극한기수이므로, 모든 도달 불가능한 기수는 약하게 도달 불가능한 기수다. 일반화 연속체 가설이 성립하는 경우, 반대로 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 도달 불가능한 기수이다.

강하게 도달 불가능한 기수의 존재성은 그로텐디크 전체의 개념과 밀접한 연관이 있다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 도달 불가능한 기수 \kappa에 대해 폰 노이만 전체의 부분집합 V_\kappa는 ZFC의 모형이다. 또한, 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서, 약하게 도달 불가능한 기수 κ에 대해 구성 가능 전체의 부분 집합 L_\kappa는 ZFC의 모형이다. 따라서 ZF + "약하게 도달 불가능한 기수의 존재"는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다. 즉, 불완전성 정리에 의하여 만약 ZF가 일관적이라면 ZFC에서는 도달 불가능한 기수의 존재를 보일 수 없다.

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만약 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 일관적이라면, ZFC에서 존재를 증명할 수 있는 모든 기수는 (약하게) 도달 불가능하지 않다.

0, 1, \aleph_0 등은 정칙순서수이지만 정칙순서수들의 극한은 아니므로 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다. \aleph_0은 가산 정칙 강극한기수이지만 가산 기수이므로 도달 불가능한 기수가 아니다.

선택 공리를 가정하면, \aleph_0 초과의 모든 기수는 정칙기수이거나 (약)극한기수이다. 그러나 매우 큰 기수만이 두 조건을 동시에 만족시킬 수 있다.

역사[편집]

약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 1908년에 펠릭스 하우스도르프가 도입하였다.[1] 도달 불가능한 기수의 개념은 1930년에 바츠와프 시에르핀스키알프레트 타르스키[2]에른스트 체르멜로[3]가 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Hausdorff, Felix (1908). “Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 65 (4): 435–505. doi:10.1007/BF01451165. ISSN 0025-5831. 
  2. Alfred Tarski; Alfred Tarski (1930). “Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 15: 292–300. ISSN 0016-2736. 
  3. Zermelo, Ernst (1930). “Über Grenzzablen und Mengenbereiche”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 16: 29–47. ISSN 0016-2736. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]