칸토어의 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

칸토어의 정리(Cantor's theorem)는 게오르크 칸토어가 증명한 집합론의 정리로, 임의의 집합 X과 그 멱집합 2^X 사이에 전단사가 존재할 수 없다는 정리이다. 이 정리로부터 집합 X기수는 그 멱집합 2^X기수보다 클 수 없다는 사실을 알 수 있다. 이 정리로부터 제기된 의문은 연속체 가설의 토대를 제공하였다.

증명[편집]

임의의 집합 X에 대하여

X=\varnothing이면 |X|=0이고 |2^X| = 1이므로 성립한다.

X \neq \varnothing일 때, 집합 X과 그 멱집합 2^X 사이에 전단사 f가 존재한다고 가정하고, A=\left\{x \in X | x \not\in f(x)\right\}로 정의하자. 이 때, f는 전단사이므로, 적당한 a \in X가 존재하여 f(a)=A라 하였을 때, 다음과 같은 모순이 발생한다.

  1. a \in A인 경우, 집합 A의 정의에 의해 a \not\in f(a) = A
  2. a \not\in A인 경우, a \not\in f(a)이고 집합 A의 정의에 의해 a \in A

Q.E.D.

같이 보기[편집]