치역

함수 $f$는 정의역이 X, 공역이 Y인 함수다. Y 안에 있는 노란색 집합은 $f$의 상 또는 치역이다. 이 함수는 공역과 치역이 다르므로 전사 함수가 아니다.

수학에서 어떤 함수의 치역(値域, 영어: range)은 그 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 다시 말해, 정의역의 상이다.

정의

정의역이 $X$, 공역이 $Y$인 함수 $f\colon X\to Y$의 치역 $\operatorname {ran} f$은 다음과 같은 공역의 부분집합이다.

$\operatorname {ran} f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y$

치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수라고 한다. 일반적으로 치역은 공역과 다르다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없다.

예

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $f$가 다음과 같이 정의된다고 하자.

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f\colon x\mapsto x^{2}$

이 경우, $f$의 공역은 $\mathbb {R}$이고, $f$의 치역은 구간 $[0,\infty )$이다. 따라서 $f$는 전사 함수가 아니다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $g$가 다음과 같이 정의된다고 하자.

$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$g\colon x\mapsto 2x$

이 경우, $g$의 공역과 치역 둘 다 $\mathbb {R}$이다. 따라서 $g$는 전사 함수이다.

같이 보기

• 전단사 함수
• 단사 함수