치역

수학에서 함수의 치역(値域)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 때로, 상(像)이라고도 부르고, 더 엄밀하게는 함수에 의한 정의역의 상이라고 부른다.

형식적 정의

주어진 함수 $f\colon\, A\rightarrow B$에 대하여, $f$의 치역은 집합

$\{ x \in B : x = f(a),\, \exist a \in A \}$

으로 정의된다.

$f$의 치역을 $\operatorname{ran}(f)$로 나타내는 경우도 있다.

치역은 공역 $B$와 구별 되지 않을 수도 있다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없기 때문에 공역과 항상 같은 것은 아니다. 공역은 보통 치역으로 받아들이기도 하지만, 공역은 주로 실수 집합이나 복소수 집합 같이 좀 더 기준이 되는 집합으로써, 치역을 포함한다. (옛날 책에서는 현재 공역으로 부르는 것이 치역으로, 치역으로 부르는 것이 상 집합으로 나와있기도 하다.) 치역이 공역과 같은 함수는 전사 함수라고 불린다.

예제

함수 $f\,$를 실수 집합에서

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

$f(x) \,=\, x^2$

과 같이 정의되는 함수라고 하자.

$f\,$의 공역은 $\mathbb{R}$이고 $f\,$는 모든 음이 아닌 실수 값이지만 음수값은 갖지 않는다. 따라서 치역 $\mathbb{R}_0^+$는 음이 아닌 실수, 즉 구간 $[0,\infty)$이므로

$0\leq f(x)<\infty.$

이다. 이제 $g\,$가 실수 집합에서

$g\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

$g(x) \,=\, 2x$

와 같이 정의된다고 하자.

이 경우에 $y\,$는 어떤 실수든지 될 수 있으므로, $g\,$의 상은 공역인 $\mathbb{R}$과 같다.

$g\left(\frac y 2 \right) = y$

다른 말로 $g\,$는 $\mathbb{R}$ 상의 전사함수라고 한다.

같이 보기

• 공역
• 정의역
• 전단사 함수
• 단사 함수
• 전사 함수