특이 기수 가설

집합론에서 특이 기수 가설(特異基數假說, 영어: singular cardinals hypothesis, 약자 SCH)은 기수의 거듭제곱이 연속체 함수 $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$로부터 완전히 결정된다는 명제이다. 통상적인 집합론 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)와 독립적이다.

정의

특이 기수 가설 ${\mathsf {SCH}}$에 따르면, 모든 무한 기수 $\kappa$에 대하여 다음이 성립한다.

$\gimel (\kappa )=\max\{\kappa ^{+},2^{\operatorname {cf} \kappa }\}$

여기서 $\gimel$은 기멜 함수이며, $\operatorname {cf}$는 공종도이다.

성질

무한 정칙 기수의 경우 특이 기수 가설은 자명하게 성립한다. 또한, 적어도 하나 이상의 강콤팩트 기수보다 더 큰 특이 기수에 대하여, 특이 기수 가설이 성립한다. 이는 로버트 솔로베이(영어: Robert Solovay)가 증명하였다. 즉, 특이 기수 가설은 "대부분의" 기수에 대하여 참이다.

만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면, 특이 기수 가설은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다.

$\operatorname {Con} ({\mathsf {ZF}})\implies \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+{\mathsf {SCH}})$

만약 미첼 순서(영어: Mitchell order)가 $\kappa ^{++}$인 가측 기수 $\kappa$가 존재한다면, 특이 기수 가설의 부정 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다. (이는 초콤팩트 기수의 존재보다 약한 가정이다.)

특이 기수 가설을 함의하는 명제

일반화 연속체 가설 ${\mathsf {GCH}}$은 특이 기수 가설을 함의한다. 일반화 연속체 가설을 가정하면 모든 무한 기수에 대하여

$\gimel (\kappa )=\kappa ^{+}\geq 2^{\operatorname {cf} \kappa }$

가 성립한다.

고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom) ${\mathsf {PFA}}$ 또한 특이 기수 가설을 함의한다. 고유 강제법 공리는 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$를 함의하므로, 연속체 가설과 모순된다.

참고 문헌

• Gitik, Moti; Magidor, Menachem (1992). 〈The singular cardinal hypothesis revisited〉. Judah, Haim; Just, Winfried; Woodin, Hugh. 《Set Theory of the Continuum》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 26. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-9754-0_16. ISBN 978-1-4613-9756-4. 
• Kojman, Menachem (2012). 〈Singular cardinals: from Hausdorff’s gaps to Shelah’s pcf theory〉. Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akihiro; Woods, John. 《Sets and extensions in the twentieth century》 (영어). North-Holland. 509–558쪽. ISBN 978-044451621-3. Zbl 1255.03008. 2016년 9월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함. 
• Jech, Thomas (1995년 12월). “Singular cardinals and the pcf theory” (PDF). 《The Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 1 (4): 408–424. ISSN 1079-8986. JSTOR 421130. MR 1369170. Zbl 0849.03040. 2011년 7월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함. 

외부 링크

• Cumming, James (1998년 9월). “Singular cardinal problems” (PDF) (영어). Fifth International Workshop in Set Theory, Luminy, France, September 1998. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함. 
• “Why should I believe the Singular Cardinal Hypothesis?”. 《Math Overflow》 (영어). 2015년 1월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함. 
• Caicedo, Andrés E. (2009년 2월 11일). “580 - Cardinal Arithmetic (4)”. 《A Kind of Library》 (영어). 2015년 1월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함.