공집합

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
공집합

수학에서, 공집합(空集合, empty set)은 원소가 하나도 없는 집합을 말한다. 기호로는 \{\quad\}이나 \emptyset를 쓴다.

기호 \emptyset는 프랑스의 수학자이며 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 \phi를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. 0:=\emptyset, \ 1:=\{\emptyset\}, \ 2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \ \cdots 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한공리에서 사용하는 방법이다.

성질[편집]

모든 집합 A에 대해서 :

\forall A: \emptyset \subset A
  • 집합 A와 집합 A의 공집합의 합집합은 집합 A이다.
\forall A: A \cup \emptyset = A
  • 집합 A와 집합 A의 공집합의 교집합은 공집합이다.
\forall A: A \cap \emptyset = \emptyset
  • 집합 A와 집합 A의 공집합의 곱집합은 공집합이다.
\forall A: A \times \emptyset = \emptyset

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

  • 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
\forall A: A \subset \emptyset \Rightarrow A = \emptyset
  • 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
2^\emptyset = \{\emptyset\}
  • 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0 이다. 공집합은 유한집합이다.
\mathrm{card}(\emptyset)= 0