공집합

공집합

수학에서, 공집합(空集合, the empty set, 문화어:빈모임)은 원소가 하나도 없는 집합을 말한다. 기호로는 { }이나 ∅를 쓴다.

기호 ∅는 프랑스의 수학자이며 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 Φ를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. 공집합을 0, 0(공집합)을 원소로 갖는 집합을 1, 0과 1을 원소로 갖는 집합을 2, ... 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한공리에서 사용하는 방법이다.

성질

모든 집합 A에 대해서 :

• 공집합은 A의 부분집합이다.

$\forall A: \varnothing \subseteq A\, .$

• 집합 A와 집합 A의 공집합의 합집합은 집합 A이다.

$\forall A: A \cup \varnothing = A\, .$

• 집합 A와 집합 A의 공집합의 교집합은 공집합이다.

$\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing\, .$

• 집합 A와 집합 A의 공집합의 카테시안 곱은 공집합이다.

$\forall A: A \times \varnothing = \varnothing\, .$

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

• 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.

$\forall A: A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing\, .$

• 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.

$2^\varnothing = \{\varnothing\}\, .$

• 공집합의 원소의 갯수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0 이다. 공집합은 유한 집합이다.

$| \varnothing | = 0\, .$