베트 수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

집합론에서, 베트 수(ℶ數, 영어: beth number)는 가산무한집합의 거듭된 멱집합들의 크기들을 나타내는 표기법이다.

정의[편집]

순서수 \alpha 및 기수 \kappa에 대하여, 베트 수 \beth_\alpha(\kappa)는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

만약 \kappa를 생략할 경우, \kappa=\aleph_0을 의미한다. 즉,

\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0)

이다.

성질[편집]

칸토어의 정리에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다.

\alpha<\beta\implies\beth_\alpha<\beth_\beta

또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다. 즉, 모든 순서수 \alpha에 대하여,

\beth_\alpha\ge\aleph_\alpha

위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 일반화 연속체 가설이라고 하며, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Roitman, Judith (2011년). 《Introduction to modern set theory》. Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3

같이 보기[편집]