체르멜로-프렝켈 집합론

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선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 줄여서 ZFC)은 공리적 집합론의 대표적인 형태이며, 현대 수학의 기초를 이루는 체계로서 가장 널리 사용되고 있다.

ZFC는 공리꼴(axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규(영어: Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 그 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 (Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, NBG)는 유한개의 공리로도 충분하다. NBG는 집합 뿐만 아니라 모임까지도 '존재하는 대상'으로 포함시키고 있다. NBG과 ZFC 중 한 쪽에서 증명된 집합에 대한 정리(즉, 모임을 언급하지 않는 정리)는 다른 한 쪽에서도 증명될 수 있으며, 이런 의미에서 둘은 집합론으로서 서로 동치이다.

정의[편집]

선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론집합이라는 하나의 개념과, 집합의 포함관계 \in라는 하나의 이항관계 및 이에 대한 공리들로 구성된다. 다시 말해, ZFC에서 논의영역에 존재하는 모든 개체(즉, 모든 수학적 대상)는 집합이며, 집합 a가 집합 b의 원소라는 것은 기호로 a \in b로 나타낸다. ZFC는 1차 논리를 기반으로 하는 1차 이론이다.

선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.

체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)란 ZFC에서 선택공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계는 ZFC에서 선택공리·정칙성 공리·치환공리꼴을 제외한 것이다. 수학적 정리 등을 증명할 때 선택공리가 필요한 경우 이 사실은 대체로 명확하게 명시된다. 그 이유는, 선택공리가 비구성적이기 때문이다. 선택공리는 특정한 집합(선택집합)을 어떻게 구성할지를 밝히지 않은 채 그 집합의 존재를 주장하는 공리이다. 따라서 구성주의적 존재론을 주장하는 이들은 선택공리를 받아들이지 않는다.

집합의 기본 성질[편집]

확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).

  1. 확장공리(영어: axiom of extensionality): 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일합이 무엇인지를 정의한다.
    \forall x \forall y ( \forall z (z \in x \implies z \in y)\implies x = y)
  2. 정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다.
    \forall x [ \exists y ( y \in x) \implies \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]

집합의 구성[편집]

분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍·합집합·멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류공리꼴), 함수에 대한 을 취할 수 있다 (치환공리꼴).

  1. 분류공리꼴(영어: axiom schema of specification): z가 집합이고 \phi가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 z로 제한하는 것은 러셀의 역설 및 그 변형 등을 피하기 위함이다. 형식적으로 서술하면, x,z,w_1,\ldots,w_n 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x \left(x \in y \iff ( x \in z \land \phi ) \right)
  2. 치환공리꼴(영어: axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 임의의 함수 f에 대해, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, x,y,A,w_1,\ldots,w_n \! 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n \left[ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \implies \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi\right]
    여기에서 한정기호 \exists ! y는 그 뒤의 조건을 만족하는 y가 유일하게 존재함을 말한다.
  3. 짝의 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)
  4. 합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal F \implies x \in A)
  5. 멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
    \forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \implies z \in y)
    여기에서 z \subseteq x\forall q (q \in z \implies q \in x)를 줄여 쓴 것이다.

무한공리와 선택공리[편집]

무한공리와 선택공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한공리는 가산 무한집합의 존재를 가정하며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수순서수들을 정의할 수 있다. 선택공리에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다. 이를 사용하여, 바나흐-타르스키 역설 등을 유도할 수 있다. 소위 구성주의 수학에서는 선택공리를 배척하여 사용하지 않으며, 유한주의(영어: finitism) 수학에서는 무한공리마저 사용하지 않는다.

  1. 무한공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약 y를 원소로 가진다면 언제나 S(y)도 원소로 가지는 집합 X가 존재한다.
    \exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y \left(y \in X \implies S(y)  \in X\right)\right)
    여기서 S(x) = x \cup \{x\}이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합 x에 대해 S(x)가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. \varnothing공집합으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상 S(x)\ne x이므로, 이는
    X\supseteq\left\{\varnothing,S(\varnothing),S(S(\varnothing),\dots\right\}
    를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
    \varnothing=0
    S(x)=x+1
    그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합 \mathbb N의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
  2. 선택공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합 X가 주어졌을 때, X의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수 f가 존재한다. 즉, 모든 A\in X에 대하여, fA의 원소 f(A)\in A를 골라낸다.
    \forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \to \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right]
    여기서 \bigcup X=\bigcup_{A\in X}AX의 모든 원소들의 합집합이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.

역사[편집]

1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다.[1] 그러나 이 체계는 순서수를 구성하기에 부족하다는 큰 단점이 있었다. 비록 순서수가 없이도 "보통 수학"을 하는 데에는 대체로 큰 문제가 없긴 하지만, 순서수는 집합론의 연구에 있어서 극히 중요한 도구였다. 또한, 체르멜로의 공리들 중에 하나에는 "명확한"(definite)이라는 표현이 포함되어 있었는데, 그 조작적 의미가 불분명하다는 것 또한 하나의 문제였다. 1922년, 아브라함 프렝켈토랄프 스콜렘 은 "명확한 성질"이라는 것을 1차 논리에서 구성될 수 있는 임의의 성질로 정의할 것을 제안했다. 이들의 연구에 따라 체르멜로의 공리체계를 수정하고 정칙성 공리치환공리꼴을 추가한 것을 체르멜로와 프렝켈의 이름 첫글자를 따 ZF라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Zermelo, Ernst (1908년). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. 《Mathematische Annalen》 65: 261–281. doi:10.1007/BF01449999.
  • (영어) Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007년). 《Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work》. Springer. ISBN 978-3-540-49551-2
  • (영어) Hinman, Peter (2005년). 《Fundamentals of Mathematical Logic》. A K Peters. ISBN 978-1-56881-262-5
  • (영어) Jech, Thomas (2003년). 《Set Theory》, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer. ISBN 3-540-44085-2

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]