폰 노이만 전체

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수학집합론 및 관련 분야에서, 폰 노이만 전체(von Neumann universe) 혹은 집합의 폰 노이만 위계는 모든 집합모임(즉, 전체모임)에 초한 위계를 준 것이다.

정의[편집]

폰 노이만 전체는 초한귀납법을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있다:

 V_0 := \{\} \! .
 V_{\alpha+1} := \mathcal{P}(V_\alpha) \! .
  • 임의의 극한서수 λ에 대해, Vλ를 이전 단계 Vα들을 전부 합집합한 것으로 정의한다:
 V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \! .
  • 마지막으로, V는 모든 서수 α에 대해 Vα들의 합모임으로 정의한다:
 V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \! .

이와 동치인 정의로, 임의의 서수 α에 대해 V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \! 로 놓아도 된다. (여기에서 \mathcal{P}\!는 멱집합을 나타냄.)

V와 집합론[편집]

자연수의 집합을 ω로 쓰자. 그러면 Vω유전적 유한집합들의 집합이 되며, 이는 무한공리를 가정하지 않는 집합론의 모형이 된다. κ가 도달 불가능한 기수일 경우 Vκ체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, Vκ+1모스-켈리 집합론의 모형이다.

V는 "모든 집합의 집합"이 아님에 유의할 것. 각각의 Vα는 집합이지만, 그들 전부의 합모임 V는 진모임이기 때문이다.

임의의 집합 A에 대해, Vα가 A를 부분집합으로 포함하는 가장 작은 서수 α를 A의 계수(rank)라 한다.

함께 보기[편집]