이름 (강제법)

집합론에서 이름(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.

정의[편집]

이름[편집]

임의의 집합 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)

에 대한 누적 위계를 $X$ -이름 위계(영어: hierarchy of $X$ -names)라고 하며,^[1]^{:188, Definition VII.2.5} $\operatorname {Name} _{X,\alpha }$ 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 $\sigma ,\tau \in \operatorname {Name} _{X}$ 에 대하여, $\sigma \in \tau$ 의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 $X$ 의 부분 집합으로 나타내어진다.

\{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}

즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 $\{\top ,\bot \}$ 대신 불 대수 ${\mathcal {P}}(X)$ 로 나타내어진다.

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

\operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })

\operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}

좋은 이름[편집]

원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 와 $P$ -이름 $\tau$ 가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 $f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)$ 의 치역의 모든 원소가 $P$ 의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

\sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}

이러한 꼴의 이름을 $\tau$ 에 대한 좋은 이름(영어: nice name)이라고 한다.^[1]^{:208, Definition VII.5.11}

특히, $\tau$ 에 대한 좋은 이름 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

\operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau

성질[편집]

범주론적 성질[편집]

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $\operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$ 는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여,

\operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}

이다.

보다 일반적으로, $\operatorname {Rel}$ 이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

\operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set}

\operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}

임의의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 한원소 집합 $\{\bullet \}$ 에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 $R_{S}$ 를 생각하자.

(x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S

그렇다면, 함수

\operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V

를 생각하자. 이를 $X$ -이름의 $S$ -해석이라고 하며,

\operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V

로 표기한다.^[1]^{:189, Definition VII.2.7}

강제법에서, $\operatorname {val} _{S}(u)$ 는 포괄적 순서 아이디얼 $S$ 를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

모형 이론적 성질[편집]

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.^[1]^{:188, §VII.2} 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X\in M$ 및 집합 $\tau \in M$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}

다시 말해, $(\operatorname {Name} _{X})^{M}=\operatorname {Name} _{X}\cap M$ 이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.^[1]

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 원순서 집합 $X\in M$ 및 두 이름 $\mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} _{X}$ 에 대하여, 다음이 성립하는 $\sigma$ -좋은 이름 $\tau$ 가 존재한다.

\forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )

다시 말해, 임의의 $X$ 의 포괄적 순서 아이디얼 $G$ 및 $\sigma \in \operatorname {Name} _{X}\cap M$ 및 $S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]$ 에 대하여, $\operatorname {val} _{G}(\tau )=S$ 인 $\sigma$ -좋은 이름 $\tau$ 가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 $\tau$ 가 $\sigma$ -좋은 이름일 때, $\operatorname {val} _{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} _{G}(\sigma )$ 일 필요는 없다.^[1]^:209)