절대 논리식

모형 이론에서 절대 논리식(絶對論理式, 영어: absolute formula)은 모든 모형에서 참인 논리식이다.

정의

절대 문장

1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}$의 구조들의 모임 ${\mathcal {M}}$이 주어졌다고 하자. (예를 들어, ${\mathcal {M}}$은 어떤 ${\mathcal {L}}$의 문장들의 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})$이 성립하는 ${\mathcal {L}}$-구조들의 모임일 수 있다.)

1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}$의 문장 $\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})$이 다음 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {M}}$ 속에서 절대 문장(영어: absolute sentence)이라고 한다.

• 임의의 두 ${\mathcal {L}}$-구조 $M,M'\in {\mathcal {M}}$에 대하여, $M\models \phi \iff M'\models \phi$이다. 즉, ${\mathcal {M}}$에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.

상향·하향 절대 논리식

1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}$의 구조 $M$이 주어졌다고 하자.

${\mathcal {L}}$-논리식 $\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}})$가 $n$개의 자유 변수 $x_{1},\dots ,x_{n}$를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $\phi$가 $M$-하향 절대 논리식(영어: downward-absolute formula)이라고 한다.

$M$의 임의의 ${\mathcal {L}}$-부분 구조 $M'\subseteq M$ 및 임의의 $m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\in M'$에 대하여, $M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]\implies M'\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]$이다.

마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면, $\phi$가 $M$-상향 절대 논리식(영어: upward-absolute formula)이라고 한다.

$M$을 부분 구조로 포함하는 임의의 ${\mathcal {L}}$-구조 $(M',\in )$ 및 임의의 $m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\in M$에 대하여, $M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]\Longleftarrow M'\models \phi [m_{1},\dots ,m_{n}]$이다.

추이적 절대 논리식

집합론의 명제의 경우, 폰 노이만 전체 $V$는 집합론의 언어 ${\mathcal {L}}_{\in }$의 고유 모임 구조이다. 이 경우, ${\mathcal {L}}_{\in }$-논리식 $\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}}_{\in })$이 다음 조건을 만족시킨다면, $\phi$가 추이적 절대 논리식이라고 한다.^{:117, Definition IV.3.1(2)}

${\mathsf {ZFC}}$의 표준 추이적 모형 $M\in {\mathcal {M}}$ 및 집합 $m_{1},\dots ,m_{k}\in M$에 대하여, $(M\models \phi [m_{1},\dots ,m_{k}])\iff \phi [m_{1},\dots ,m_{k}]$

예

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다.

• $x=\varnothing$
• $x$는 (폰 노이만 정의) 순서수이다.
• $x$는 유한 순서수이다.
• $x=\omega$
• $x$는 함수의 그래프이다.

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다.

• $x$는 가산 집합이다.

숀필드 절대성 정리

체르멜로-프렝켈 집합론(${\mathsf {ZF}}$)의 모형 $M$이 주어졌을 때, 그 속의 자연수 집합 $\mathbb {N} ^{M}$은 페아노 공리계의 모형을 이룬다. 체르멜로-프렝켈 집합론(${\mathsf {ZF}}$)의 표준 추이적 모형 $M$과, 그 속의 구성 가능 전체 $L^{M}\subseteq M$를 생각하자. 그렇다면, $L^{M}$을 포함하는, $M$의 부분 구조 가운데 ${\mathsf {ZF}}$의 모형인 것들의 집합

$\{M'\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}$

을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들

${\mathcal {N}}=\{\mathbb {N} ^{M'}\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}$

을 생각할 수 있다.

숀필드 절대성 정리(영어: Shoenfield absoluteness theorem)에 따르면, 페아노 공리계의 언어의 $\Pi _{2}^{1}$ 문장과 $\Sigma _{2}^{1}$ 문장들은 ${\mathcal {N}}$에 대하여 절대 문장이다.