무한

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

중화인민공화국의 도시에 대해서는 우한 시 문서를 참조하십시오.

무한대 기호 ∞를 여러 가지 글씨체로 쓴 것.

무한(無限, ∞)이란 개념은 수학, 신학 및 철학을 비롯한 여러 분야에서 서로 다른 의미로 쓰이며, 대체로 끝이 없거나 한없이 커지는 상태를 말한다.

수학에서의 의미

수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다.

실해석학에서의 무한

주어진 수열 $a_1, a_2, a_3, \cdots$에 대하여, 아무리 큰 수 $M$를 고르더라도 $a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, \cdots$이 모두 $M$보다 커지는 그러한 $N$을 찾을 수 있다면, 수열 $a_n$은 "무한대로 발산한다"고 하고 기호 $\infty$를 써서 나타낸다.

이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 실수체(real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 $\pm\infty$를 포함시켜 옹골집합의 성질을 갖도록 한 확장 실수체(extended real number system)에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다.

비표준 해석학에서의 무한

비표준 해석학에서는 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.

$1 + 1 + \cdots + 1.$

이러한 수들을 ‘무한대’(infinite)들이라고 한다.

수학적 이론

일반적으로 다음 3개의 성질을 갖는다.

• ∞×∞=∞
• ∞+∞=∞
• ∞²=∞

그리고 유리수, 자연수이면서 무리수인 특이한 형태를 갖는다.

같이 보기

• 유한
• 무한소