수학 에서 스테인하우스 -모서 표기법영어 : Steinhaus–Moser notation )은 특정한 매우 큰 수 를 표현하는 표기법 으로, 스테인하우스 의 다각형 표기법의 확장판이다.
삼각형 안에 n n n 사각형 안에 n n n 오각형 안에 n n n etc.: (m + 1n m n n associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 n n n n n n n
스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 원
특수값 [ 편집 ] 스테인하우스는 다음을 정의했다:
mega 는 원 안에 2를 쓴 수이다: ② megiston 은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩모서 수 (영어 : Moser's number )는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon 은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형 (영어 : megagon )과 혼동해서는 안된다.
다른 표기법:
함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
M(n , m , p ) 를 중첩된 p m n
M
(
n
,
1
,
3
)
=
n
n
{\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}
M
(
n
,
1
,
p
+
1
)
=
M
(
n
,
n
,
p
)
{\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}
M
(
n
,
m
+
1
,
p
)
=
M
(
M
(
n
,
1
,
p
)
,
m
,
p
)
{\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}
그리고
mega =
M
(
2
,
1
,
5
)
{\displaystyle M(2,1,5)}
megiston =
M
(
10
,
1
,
5
)
{\displaystyle M(10,1,5)}
moser =
M
(
2
,
1
,
M
(
2
,
1
,
5
)
)
{\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}
Mega [ 편집 ] mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② =
square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) =
square(triangle(22 )) =
square(triangle(4)) =
square(44 ) =
square(256) =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256256 )...))) [255 triangles] ~
triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10616 )...))) [254 triangles] =
...
다른 표기법을 사용하면:
mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)
함수
f
(
x
)
=
x
x
{\displaystyle f(x)=x^{x}}
f
256
(
256
)
=
f
258
(
2
)
{\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}
함수의 거듭제곱 을 의미한다.
우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):
M(256,2,3) =
(
256
256
)
256
256
=
256
256
257
{\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}
M(256,3,3) =
(
256
256
257
)
256
256
257
=
256
256
257
×
256
256
257
=
256
256
257
+
256
257
{\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}
256
256
256
257
{\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}
유사하게:
M(256,4,3) ≈
256
256
256
256
257
{\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}
M(256,5,3) ≈
256
256
256
256
256
257
{\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}
etc.
따라서:
mega =
M
(
256
,
256
,
3
)
≈
(
256
↑
)
256
257
{\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}
(
256
↑
)
256
{\displaystyle (256\uparrow )^{256}}
f
(
n
)
=
256
n
{\displaystyle f(n)=256^{n}}
더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법 으로 mega ≈
256
↑↑
257
{\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}
처음 몇 단계 이후
n
n
{\displaystyle n^{n}}
256
n
{\displaystyle 256^{n}}
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
매우 큰 수에 대한 근사적 산술 을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:
M
(
256
,
1
,
3
)
≈
3.23
×
10
616
{\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}
M
(
256
,
2
,
3
)
≈
10
1.99
×
10
619
{\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}
log
10
616
{\displaystyle \log _{10}616}
M
(
256
,
3
,
3
)
≈
10
10
1.99
×
10
619
{\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}
619
{\displaystyle 619}
1.99
×
10
619
{\displaystyle 1.99\times 10^{619}}
M
(
256
,
4
,
3
)
≈
10
10
10
1.99
×
10
619
{\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}
...
mega =
M
(
256
,
256
,
3
)
≈
(
10
↑
)
255
1.99
×
10
619
{\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}
(
10
↑
)
255
{\displaystyle (10\uparrow )^{255}}
f
(
n
)
=
10
n
{\displaystyle f(n)=10^{n}}
10
↑↑
257
<
mega
<
10
↑↑
258
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}
모서 수 [ 편집 ] 모서 수는 그 크기가 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 으로 증명되었다.
m
o
s
e
r
<
3
→
3
→
4
→
2
{\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2}
그리고 커누스 윗화살표 표기법 으로도 증명되었다.
m
o
s
e
r
<
f
3
(
4
)
=
f
(
f
(
f
(
4
)
)
)
,
where
f
(
n
)
=
3
↑
n
3
{\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3}
따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 그레이엄 수 에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다:
m
o
s
e
r
≪
3
→
3
→
64
→
2
<
f
64
(
4
)
=
Graham's number
.
{\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}
같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ]
삼각형 안에 n을 쓴 수는 nn을 의미한다.
사각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.
오각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.
만을 정의했다.
