하이퍼 연산

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수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며, 크누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다.

정의[편집]

하이퍼 연산 수열은 덧셈 (n = 1), 곱셈 (n = 2), 거듭제곱 (n = 3) 으로 시작하는, H_n \mathbb{N}으로 첨수(添數)된 이항연산 수열이다. 하이퍼 연산 수열의 매개변수는 거듭제곱과 유사한 용어를 쓴다; 따라서 a, b지수 (또는 하이퍼 지수), n계수 (또는 등급)이다..

크누스 윗화살표 표기법을 이용하면, 우리는 하이퍼 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.


  H_n(a, b) = a \uparrow^{n-2} b = 
   \begin{cases}
    b + 1 & \text{if } n = 0 \\
    a & \text{if } n = 1, b = 0 \\
    0 & \text{if } n = 2, b = 0 \\
    1 & \text{if } n \ge 3, b = 0 \\
    H_{n-1}(a, H_n(a, b - 1)) & \text{otherwise}
   \end{cases}

(단, otherwise는 "나머지"를 뜻한다.)

이는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 다음에 무엇인지에 대한 답으로 해석할 수 있다. 참고로

  • a + b = 1 + (a + (b - 1))
  • a \times b = a + (a \times (b - 1))
  • a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})

는 하이퍼 연산자들의 관계를 나타내며, 더 높은 연산자들을 정의할 수 있다. 높은 연산자에는 작은 수를 대입해도 매우 큰 숫자가 나온다. 더 자세한 내용을 보려면 테트레이션 문서를 보라.

일반적으로, 하이퍼 연산자들은 이전 하이퍼 연산자의 반복을 거듭하는 것을 뜻한다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 개념은 모두 하이퍼 연산이다; 덧셈 연산은 1을 거듭 더하는 것이고, 곱셈은 한 숫자를 거듭 더하는 것이며, 거듭제곱은 한 숫자를 거듭 곱하는 것이다.

예시[편집]

다음은 처음 여섯 개의 하이퍼 연산자이다.

n 연산 정의 이름 영역
0 b + 1 { 1 + {\underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{b}} } hyper0, 증분(增分), successor 임의의 b
1 a + b { a + {\underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{b}} } hyper1, 덧셈 임의의 a,b
2 ab { {\underbrace{a + a + a + \cdots + a}} \atop{b} } hyper2, 곱셈 임의의 a,b
3 a \uparrow b = a^b { {\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}} \atop{b} } hyper3, 거듭제곱 a > 0, b 실수, 또는 a가 0이 아닌 실수, b가 정수
4 a \uparrow\uparrow b { {\underbrace{a \uparrow a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}} \atop{b} } hyper4, 테트레이션 a > 0, 정수 b ≥ −1
5 a \uparrow\uparrow\uparrow b or a \uparrow^3 b { {\underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a}} \atop{b} } hyper5, 펜테이션 ab는 정수, a > 0, b ≥ 0
6 a \uparrow^4 b { {\underbrace{a \uparrow^3 a \uparrow^3 \cdots \uparrow^3 a}} \atop{b} } hyper6, 헥세이션 ab는 정수, a > 0, b ≥ 0

하이퍼 연산의 역사[편집]

하이퍼 연산이 맨 처음으로 토론된 경우는 1914년 알베르트 베네트가 "가환 하이퍼 연산"에 대한 이론을 개발했을 때이다. 약 12년 후, 윌헴 애커맨이 하이퍼 연산 수열과 어느 정도 연관성이 있는 함수 \phi(a, b, n)[1] 를 정의했다. 원래 애커맨 함수는 같은 반복 규칙을 사용했지만, 현대 하이퍼 연산과 최소 2가지의 다른 점이 있다. 그리고 1947년, Reuben Goodstein[2]은 하이퍼 연산을 현재 쓰이는 방법으로 정의하였다. 그는 G(n,a,b)와 같은 기호를 사용했는데, 이는 크누스 윗화살표 표기법에서는 a \uparrow^{n-2}b와 같다. 또한, Goodstein은 "테트레이션", "펜테이션", "헥세이션" 등 거듭제곱 이상의 연산에 명칭을 부여했다.

표기법[편집]

다음 목록은 하이퍼 연산을 표기하는 여러가지 방법이다.

이름 표기법 비고
기본 화살표 표기법 a \uparrow^{n-2} b = H_n(a, b) 크누스가 최초로 사용[3]
굿스틴의 표기법 G(n, a, b) 굿스틴(Goodstein)이 최초로 사용[2]
초기 애커맨 함수 A(a, b, n-1) = H_n(a, b) 하이퍼 연산과는 약간 다르다.
현대 애커맨 함수 A(n, b - 3) + 3 = H_n(2, b) 밑이 2일 때의 하이퍼 연산과 동일하다.
냄비어의 표기법 a \otimes^n b 냄비어(Nambiar)가 최초로 사용[4]
상자 표기법 a {\,\begin{array}{|c|}\hline{\!n\!}\\\hline\end{array}\,} b Rubtsov과 Romerio가 최초로 사용[5]
어깨글자 표기법 a {}^{(n)} b 로버트 무나포(Robert Munafo)가 최초로 사용[6]
아래글자 표기법 a {}_{(n)} b 작은 하이퍼 연산을 위해 무나포가 최초로 사용[6]
ASCII 표기법 a [n] b 많은 온라인 포럼에서 사용; 상자 표기법을 기본으로 함.

같이보기[편집]

주석[편집]

  1. Wilhelm Ackermann (1928). “Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen”. 《Mathematische Annalen99: 118–133. doi:10.1007/BF01459088. 
  2. R. L. Goodstein (1947 Dec.). “Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory”. 《Journal of Symbolic Logic》 12 (4): 123–129. 2009-04-17에 확인함. 
  3. Donald E. Knuth (1976 Dec.). “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness”. 《Science》 194 (4271): 1235–1242. 2009-04-21에 확인함. 
  4. K. K. Nambiar (1995). “Ackermann Functions and Transfinite Ordinals”. 《Applied Mathematics Letters》 8 (6): 51–53. 2009-04-21에 확인함. 
  5. C. A. Rubtsov and G. F. Romerio (2005-12). “Ackermann's Function and New Arithmetical Operation”. 2009-04-17에 확인함. 
  6. Robert Munafo (1999-11). “Inventing New Operators and Functions”. 《Large Numbers at MROB》. 2009-04-17에 확인함.