수열

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실수의 무한수열

수열(數列,sequence of numbers)은 수를 나열한 것을 말한다. 특히,

1,1,2,3,5,8,13,21ᆞᆞᆞ 과 같이 일정한 규칙에 따라서 수들을 차례대로 나열한 것을 말한다.

여기에 속하는 각각의 수를 수열의 ‘항’(혹은 ‘원소’, ‘열’이라고도 함)이라고 한다. 수열의 각 항은 순서에 따라 구분되므로 (1, 2, 3)과 (1, 3, 2)는 엄연히 서로 다른 수열이며, 집합의 경우와 달리 (1, 1, 2)처럼 하나의 수가 두 항에 동시에 등장할 수도 있다. 이때 항의 수를 수열의 ‘길이’라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도 있고, 무한할 수도 있다. 또한, 수열은 (2, 4, 6, 8, …)과 같이 일정한 규칙에 따라 놓일 수도 있고, (3, 7, 6, 5, …)와 같이 아주 규칙도 없이 놓일 수도 있다. 그리고 이진법 (1,1,0,1,0,0,1,0,1)처럼 수학적인 규칙은 없지만, 정보와 관련한 규칙을 가지고있는 수열도 있다.

일반적으로 수열은 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,..., a_n,... 처럼 수열의 항이 앞에서 몇번째의 순서로 등장했느냐에 따라 문자 뒤에 숫자를 붙여서 나타낸다. 여기서 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,...의 항들을 앞에서부터 차례대로 제1항,제2항,제3항,제4항,제5항 ...으로 지칭하여부른다.

특히, 항 a_n은 이 수열의 제n항으로, 미지수 n값에 따라 항 a_n 은 이 수열의 어떤 항이든지 될 수 있다. 즉, 항 a_n 은 이 수열 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,...의 모든 항을 하나로 일반화했다고 볼 수 있으므로, a_n 을 이 수열의 일반항이라 부른다.

일반항 a_n 은 수열의 모든 항을 하나로 일반화한 것으로, a_n은 수열의 모든 항을 대표하는 항이다. 따라서, 수들의 집합인 수열을 간단한 기호로 나타낼 때에는 집합의 조건제시법과 유사한 방법으로 나타낸다. 즉, 수열은 집합의 원소들을 나타내는 중괄호 {}안에 대표 항(원소) a_n 을 넣어 { a_n } 으로 나타낸다.

일반항a_n이 자연수 n에 대한 식 f(n)으로 나타나져있으면, 수열 {a_n}의 모든 항을 모두 나타낼 수 있다. 그 이유를 말해보자면,

일반항이 a_n=f(n)의 꼴로 나타났으므로, 이를 함수와 관련지어 생각해본다면, 정의역이 자연수의 집합이고 공역이 실수의 집합인 함수 f에 대하여, 자연수 n의 값과 이에 따른 함숫값 f(n)의 대응관계를 생각할 수 있다. 즉, n=1,2,3,4...를 차례대로 이 함수에 대입하여 얻은 함숫값들을 차례대로 나열하면 f(1), f(2), f(3), f(4) ... 과 같은데, f(n)=a_n이므로, 이 수열을 다시 나타내보면 a_1, a_2, a_3, a_4,...의 수열이 된다.

때문에 일반항 a_n이 자연수 n에 대한 식 f(n)으로 나타나지면, 수열 {a_n}의 모든 항들을 나타낼 수 있는 것이다.

넓은 의미에서는 꼭 수가 아니라도, 특정한 순서로 놓인 임의의 대상의 열을 ‘수열’이라고 한다. 예를 들어 문자의 열은 ‘문자열’, 행렬의 열은 ‘행렬렬’이라 하는데, 이런 것들도 일반적인 의미에서 ‘수열’이라고 불린다.

수열의 합[편집]

수열 {a_n}의 제 1항부터 제 n항까지의 합a_1+a_2+a_3+...+a_n 은 편의상 기호  \sum_{} 를 이용하여

 \sum_{k=1}^n a_k 와 같이 나타낸다.

여기서,  \sum_{k=1}^n a_k 의 의미는 '일반항이  a_k 인 수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합'이다.

시그마 \sum_{} 와 관련된 공식들[편집]

시그마 \sum_{} 는 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 이 성질들은 수열의 합을 구하는 과정에서 자주 쓰인다.

(1)  \sum_{k=1}^n (a_k+b_k) =  \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k

(2)  \sum_{k=1}^n (a_k-b_k) =  \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n b_k

(3)  \sum_{k=1}^n ca_k = c \sum_{k=1}^n a_k

(4)  \sum_{k=1}^n c =  nc

(5)  \sum_{k=m}^n a_k =  \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k 단,(m < n)

또한, 자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같이 공식화할 수도 있다. 이것들도 수열의 합을 구하는 데 자주 쓰인다.

(1) 1+2+3+...+n = \sum_{k=1}^n k =  \frac{n(n+1)}{2}

(2) 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 =  \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

(3) 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \sum_{k=1}^n k^3 =  (\frac{n(n+1)}{2})^2

한편, 수열의 일반항이  a_k= \frac{1}{f(k)g(k)} 와 같이 분수꼴로 표현될 때에는,  \frac{1}{FG}= ( \frac{1}{G-F} )( \frac{1}{F}-\frac{1}{G} ) 의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 변형시키고, 이를 통해 수열의 소거 규칙성을 찾아내어 일반항을 간단화하여 정리하기도한다.

수열을 정의하는 방법[편집]

수열의 일반항을 통해서 정의하기[편집]

일반적으로 수열은 일반항을 통해서 정의된다.

그 이유는 수열을 간단히 기호로 나타낼 때는 { a_n }과 같이 중괄호 {}안에 그 수열의 일반항  a_n 을 집어넣어 표현하기로 약속했다는 점에서 알 수 있다. 수열을 기호화하기위해서 일반항을 도입시키는 만큼, 수열은 간단히 나타내지기위해서 일반항을 꼭 사용해야만 하기때문이다.

즉, 수열은 수학적 간편성을 위해서 일반적으로 일반항을 통해서 나타낸다.

이를테면, 수열 { a_n }은  a_n=3*7^{2n-1} 의 꼴과 같이, 일반항  a_n 은 n에 대한 식 f(n)으로 표현됨으로써 정의되는 것이다.

수열을 귀납적으로 정의하기[편집]

귀납이란, 서로 관련있는 참인 명제들을 통해서 일반적인 진리를 이끌어내는 수학적 추론방법이다.

이를테면, 5개의 참인 명제들  a_1=1  a_2=3 ,  a_3=5 ,  a_4=7 ,  a_5=9 가 있다. 이 참인 명제들 사이에는 공통적으로 문자  a 의 뒷부분에 있는 숫자가 1씩 증가할 때마다 그 값은 2씩 증가한다는 성질이 있다. 그러므로,  a_6 은 이런 성질에 적용받을 것이므로 그 값은 11이라고 추론하는 것이 귀납이다.

더 나아가, 문자  a 의 뒷부분에 있는 숫자를 미지수 n라고 놓는다면,  a_n 은 위에서 발견한 성질에 절대적으로 적용을 받을 것이므로,  a_n=2n-1 (n=1,2,3,4, ... ) 이다. 라고 추론하는 것도 귀납이다.

이렇게 주어진 참인 명제들을 귀납을 통해서 적절히 활용하면, 참인 명제들을 아우르는 일반적인 사실을 도출해낼 수 있다.

수열에서도 마찬가지로, 주어진 항들과 항들간의 관계식을 귀납을 통해서 적절히 활용하면, 주어진 항들과 관계식을 아우르는 수열을 알아낼 수가 있다.

다르게 생각하면, 항들과 항들간의 관계식을 통해서 수열을 표현할 수도 있는 것이다.

이렇게 항들과 항들간의 관계식을 통해서 그 수열을 표현하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

같이 보기[편집]

도움되는 자료[편집]