유계 집합

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위의 집합은 유계집합이지만 유계가 아닌 집합

수학에서, 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 집합이다. 유계성은 순서거리가 정의되었을 때 의미를 가지며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

정의[편집]

유계 집합은 부분 순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계집합이 아닌 부분집합을 무계집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

부분 순서 집합에서의 유계 집합[편집]

부분 순서 집합 (X,\le)의 부분 집합 S\subset X가 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 위로 유계(bounded from above)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 F의 원소 z를 상계(upper bound)라고 한다.

마찬가지로, 순서체 F의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 아래로 유계(bounded from below)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 F의 원소 z를 하계(lower bound)라 한다.

유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

거리 공간에서의 유계 집합[편집]

거리 공간 (M, d)의 부분 집합 S\subset M에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 x\in M이 존재한다면 S유계 집합이라고 한다.

  • \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty

만약 M 전체가 유계라면, M유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

위상 벡터 공간에서의 유계 집합[편집]

위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S\subset V이 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는, 원점의 근방 N\ni0r\in\mathbb R^+가 존재할 경우, SV유계집합이라고 한다.

S\subset\alpha N

서로 다른 정의의 호환[편집]

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간거리 공간위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 프레셰 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 \mathbb R의 경우 전순서거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]