등비수열

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등비수열(等比數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比)라고 한다.

첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

$a, ar, ar^2, ar^3, \cdots$

등비수열의 예

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3,-3, 3, -3, 3 ...

기본적 성질

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

$a_n = a r^{n-1} \;$

등비수열은 n ≥ 1에 대해다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

$a_n = r \, a_{n-1}$

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

• 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다.
• 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
• 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
• 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
• -1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
• -1이면, 모든 항의 절대값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
• -1보다 작으면, 음의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

등비중항

0이 아닌 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라 한다.

따라서 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여, $b$가 $a$와 $c$의 등비중항이라면

$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ 즉, $b^2 =ac$가 성립한다.

또 $b^2 =ac$에서 $b=\pm\sqrt{ac}$이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

등비수열의 합

$a_1$부터 $a_n$까지 더한 합인 등비급수 $S_n$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_n = a+ar^1+ar^2+ar^3+ \cdots +ar^{n-1}$

$= a(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})$

여기에서 $r$의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$S_n = a\frac{(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})(r-1)}{r-1}$

$= a\frac{r^n-1}{r-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$

무한등비급수

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 합으로 다음과 같이 정리된다

$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n-1} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r} ($ 단 |r| < 1 일 때)

같이 보기

• 등차수열

도움되는 자료

• 수열 슬라이드 자료 (위키버시티)