초기하함수

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초기하함수(超幾何函數, 영어: hypergeometric function)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의[편집]

초기하 미분 방정식(영어: hypergeometric differential equation)은 미지 함수 w(z)에 대한, 다음과 같은 꼴의 \max\{p,q+1\}차 선형 상미분 방정식이다.

z\prod_{n=1}^p\left(z\frac d{dz}+a_n\right)w(z)=z\frac d{dz}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac d{dz}+ b_n-1\right)w(z)

여기서

\mathbf a=(a_1,\dots,a_p)\in\mathbb R^p
\mathbf b=(b_1,\dots,b_q)\in\mathbb R^q

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\mathbf a)_n}{(\mathbf b)_n}\frac {z^n} {n!}

여기서

(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)

은 상승 포흐하머 기호이며,

(\mathbf a)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n
(\mathbf b)_n=(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n

이다. 이 급수 {}_pF_q초기하급수(영어: hypergeometric series)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

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0F0[편집]

{}_0F_0(;;z)=\exp z지수 함수이다.

1F0[편집]

{}_1F_0(a;;z)=(1-z)^{-a}기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

0F1[편집]

{}_0F_1(;b;z)합류 초기하 극한 함수(영어: confluent hypergeometric limit function)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right )

1F1[편집]

{}_1F_1(;b;z)제1종 합류 초기하함수(영어: confluent hypergeometric function of the first kind)라고 한다.

2F1[편집]

{}_2F_1(a,b;c;z)가우스 초기하함수(영어: Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

2z{}_2F_1(1/2,1;3;z^2)=\arcsin z
\frac\pi 2{}_2F_1(1/2,1/2;1;z^2)=K(z)=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-z^2x^2)}}

여기서 K(z)는 제1종 타원적분이다.

성질[편집]

정의에 따라, 초기하함수 {}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z)\{a_1,\dots,a_p\}\{b_1,\dots,b_q\}의 순서에 관계없다. 또한, 만약 \{a_1,\dots,a_p\}\{b_1,\dots,b_q\}교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 a_p=b_q라면

{}_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_1,\dots,a_{p-1};b_1,\dots,b_{q-1};z)

이다.

바깥 고리[편집]