소수의 역수의 합의 발산성

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기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다: 즉, 소수의 역수의 합이 발산한다는 것이다. 다시 말해서,

\sum_{p\text{ prime }}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} +\cdots = \infty.

현재 다음과 같다는 사실도 알려져 있다.

\sum_{\scriptstyle p\text{ prime }\atop \scriptstyle p\le n}\frac1p \ge \ln \ln (n+1) - \ln\frac{\pi^2}6

조화급수[편집]

먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.

오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}
=\prod_{p} \left( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right).

(여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.)


증명법[편집]

첫 번째 증명[편집]

오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 \ln (1 - x)테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.


\begin{align}
\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_p \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p - \ln(1-p^{-1}) \\
& {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\
& {} < \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_p \frac{1}{p(p-1)} \right) \\
& {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + C
\end{align}

마지막 등식의 C는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 \ln \ln n에 근접함을 알 수 있다.

두 번째 증명[편집]

n 번째 소수를 p_n라 쓰기로 하자. 수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 k가 있다.

\sum_{m=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_m} < \frac{1}{2}

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 Q라고 해 보자. 즉, Q = p_1 \cdots p_k라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQp_1부터 p_k까지 어느 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 따라서 n의 값에 관계 없이 1+nQ의 모든 소인수는 p_{k + 1} 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

\sum_{n=1}^{r}\frac{1}{1+nQ} \le \sum_{t=1}^{\infty} \left( \sum_{m=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_m}\right)^t < \sum_{t=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^t

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p_{k+1}이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.