지수 함수
위키백과, 우리 모두의 백과사전.
지수 함수(exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이기도 하다.
목차 |
[편집] 정의
a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
- ax 는 R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
- a0 = 1
- ap+q = apaq
[편집] 미분
밑이 e 인 지수 함수 ex 의 도함수는 ex 자신이 된다. ex 를
로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax 는 자연로그 ln 을 사용하여,
로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax 의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다.
는 미분방정식
의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식
를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.
해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.
[편집] 음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분
음함수 미분을 이용하여
의 해를 구할 수 있다.
라 하면 다음이 성립한다:

좌변을
에 대해 미분하면:

[편집] 같이 보기
[편집] 외부 연결
| 위키미디어 공용에 관련 미디어 분류가 있습니다. |
- (영어) Complex exponential function - 플래닛매스
- 에릭 웨이스타인, MathWorld - 지수 함수