지수 함수

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y = ex의 그래프

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수역함수이다.

정의[편집]

a를 양의 상수, x를 모든 실수 값을 취하는 변수라 할 때 y=ax로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 f(x)=2x는 지수함수다. 로그와 관련하여 지수함수는 exp(x) 또는 ex와 같이 쓴다. 이때 e를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 y=ex 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 x의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 x축과 만나지 않지만, x축에 점점 접근해간다.

a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

  • axR 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
  • a0 = 1
  • ap+q = apaq

미분[편집]

밑이 e 인 지수 함수 ex 의 도함수는 ex 자신이 된다. ex\exp(x) 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax자연로그 ln 을 사용하여, e^{\ln a^x} = e^{x \ln a} 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax 의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다.

\exp(x)미분방정식 dy/dx = y특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 dy/dx = y, \; y(0) = 1 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분[편집]

음함수 미분을 이용하여 \frac{d}{dx}a^x의 해를 구할 수 있다.

y = a^x 라 하면 다음이 성립한다:

\ln y = \ln a^x = x\ln a

좌변을 x에 대해 미분하면:

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln a \; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (\ln a ) y = (\ln a ) a^x

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]