지수 함수

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y = ex의 그래프

지수 함수(exponential function)란 거듭제곱지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수역함수이기도 하다.

정의[편집]

a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

  • axR 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
  • a0 = 1
  • ap+q = apaq

미분[편집]

밑이 e 인 지수 함수 ex 의 도함수는 ex 자신이 된다. ex\exp(x) 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax자연로그 ln 을 사용하여, e^{\ln a^x} = e^{x \ln a} 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax 의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다.

\exp(x)미분방정식 dy/dx = y특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 dy/dx = y, \; y(0) = 1 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분[편집]

음함수 미분을 이용하여 \frac{d}{dx}a^x의 해를 구할 수 있다.

y = a^x 라 하면 다음이 성립한다:

\ln y = \ln a^x = x\ln a

좌변을 x에 대해 미분하면:

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln a \; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (\ln a ) y = (\ln a ) a^x

같이 보기[편집]

외부 연결[편집]