지수 함수

y = e^x의 그래프

지수 함수(exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이기도 하다.

정의

a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

• a^x 는 R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
• a⁰ = 1
• a^p+q = a^pa^q

미분

밑이 e 인 지수 함수 e^x 의 도함수는 e^x 자신이 된다. e^x 를 $\exp(x)$ 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 a^x 는 자연로그 ln 을 사용하여, $e^{\ln a^x} = e^{x \ln a}$ 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 a^x 의 도함수는 (ln a)a^x = a^x ln a가 된다.

$\exp(x)$ 는 미분방정식 $dy/dx = y$ 의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 $dy/dx = y, \; y(0) = 1$ 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 $\frac{d}{dx}a^x$의 해를 구할 수 있다.

$y = a^x$ 라 하면 다음이 성립한다:

$\ln y = \ln a^x = x\ln a$

좌변을 $x$에 대해 미분하면:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln a \; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (\ln a ) y = (\ln a ) a^x$

같이 보기

• e (상수)

외부 연결

• (영어) Complex exponential function - 플래닛매스
• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Exponential Function. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.