중간값 정리

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미적분학
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중간값 정리(中間-定理, 영어: intermediate value theorem), 사잇값 정리, 또는 볼차노의 정리수학에서 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)일 때, f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수 ℓ에 대하여 f(c) = ℓ인 c가 닫힌 구간 [a,b]에 적어도 하나 존재한다는 정리이다.

중간값 정리[편집]

중간값 정리

닫힌 구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 f : [a,b] → R 이 있다. 이때, 다음 사실이 성립한다.

  • 만약 f(a)f(b) < 0 이면, f(x) = 0 을 만족하는 점 x 가 (a,b)상에 적어도 하나 존재한다.
  • 만약 f(a) < ℓ < f(b) 이거나 f(b) < ℓ < f(a)이면, f(c) = ℓ 를 만족하는 점 c 가 (a,b)상에 적어도 하나 존재한다.[1]

일반화된 중간값 정리[편집]

Rn으로의 일반화[편집]

함수 f : S → R, 연결집합이고 콤팩트 집합인 S ⊂ Rn가 있다 하자.

  • 만약 f가 S에서 양의 값과 음의 값을 모두 가지면 f(c) = 0 인 점 c ∈ S 가 존재한다.
  • 만약 점 x, y ∈ S 에 대해 f(x) ≤ ℓ ≤ f(y) 또는 f(y) ≤ ℓ ≤ f(x) 이면, f(c) = ℓ 인 점 c ∈ S 가 존재한다.

위상공간으로의 일반화[편집]

함수 f : X → Y 가 선형사상, X 는 연결집합, Y 는 순서위상이 주어진 순서집합이라 하자. 이때, a, b를 X 의 두 원소라 하고, rf(a)와 f(b)사이의 Y의 원소라 하면 f(c) = r을 만족하는 c가 X 상에 존재한다.

관련된 정리들[편집]

참고문헌[편집]

  1. Douglass, Steven A. Introduction to Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1996. p.139