미적분학의 기본정리

미적분학
기본 정리 \| 함수 \| 함수의 극한 \| 연속함수 \| 다항식의 미적분 \| 평균값 정리 \| 벡터 미적분학 \| 텐서 미적분학
미분
미분표 \| 곱셈 법칙 \| 몫의 규칙 \| 연쇄법칙 \| 음함수의 미분 \| 테일러 정리 \| 상관 변화율
적분
리만 합 \| 적분표 \| 치환적분 \| 부분적분 \| 삼각 치환적분 \| 회전체 \| 중적분 \| 이상적분 \| 적분의 종류
이 상자를: 보기 • 토론 • 편집

미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 미적분학의 2개의 중요한 연산인 미분과 적분에 대한 정리로, 미적분학에서 매우 중요한 의미를 갖는 정리 두개를 말한다.

미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2기본정리는 정적분을 역도함수의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 역도함수를 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

[편집] 미적분학의 기본정리

함수 f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능할때, 함수 F를 F(x) = $\scriptstyle \int_a^x f(t) dt$ 라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

$F'(x) := {d \over dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$

　이다.

f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능한 함수이고, 함수 F를 f의 임의의 역도함수라고 하자. 그러면,

$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$

가 성립한다. 즉, 정적분을 임의의 역도함수를 택해 그 차로 계산할 수 있다.