미적분학의 기본정리

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미적분학
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미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 미적분학의 두 중요한 연산미분적분을 서로 연관시키는 정리로써 다음의 두 정리를 통틀어 이른다.
미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.
미적분학의 제2기본정리는 정적분역도함수의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 역도함수를 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

제1기본정리[편집]

함수 f폐구간 [a,b]에서 연속이면, 함수 F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt폐구간 [a,b]에서 연속이며 개구간 (a,b)에서 미분이 가능하고, 함수 F도함수f이다.

제1기본정리의 증명[편집]

함수 F미분의 정의를 바로 적용한다.

x,x+h\in[a,b]

일 때 다음이 성립한다.

\begin{align} F'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\&=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[\int_{a}^{x+h} f(t) \,dt - \int_{a}^{x} f(t)\,dt\right]\\&=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\end{align}

정적분중간값 정리에 의해 [x,x+h] 사이의 값 c에 대하여 다음이 성립한다.

\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt=f(c)

h가 작아짐에 따라 x+hx에 다가가고, 그러므로 cx에 다가간다.
함수 f는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.

\lim_{h \to 0} f(c)=f(x)

따라서,

\begin{align}F'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\\&=\lim_{h \to 0} f(c)\\&=f(x)\end{align}

이다.

제2기본정리[편집]

함수 f폐구간 [a,b]에서 연속이며, 함수 Ff의 임의의 역도함수면 다음이 성립한다.

\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)

제2기본정리의 증명[편집]

이 문서의 제1기본정리의 증명 참조

함수 G를 다음과 같이 정의하자.

G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt

함수 Ff의 임의의 역도함수이므로 다음이 성립한다.

F(x)=G(x)+C (단, C는 상수)

함수 FG 모두 [a,b]에서 연속이므로 다음이 성립한다.

\begin{align} F(b)-F(a) &= \left[ G(b)+C \right]-\left[G(a)+C\right]\\&=G(b)-G(a)\\&=\int_{a}^{b} f(t)\,dt-\int_{a}^{a} f(t)\,dt\\&=\int_{a}^{b} f(t)\,dt-0\\&=\int_{a}^{b} f(t)\,dt\end{align}

같이 보기[편집]