미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 미적분학의 2개의 중요한 연산인 미분과 적분에 대한 정리로, 미적분학에서 매우 중요한 의미를 갖는 정리 두개를 말한다.

미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2기본정리는 정적분을 역도함수의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 역도함수를 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

제1기본정리

함수 f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능할 때, 함수 F를 F(x) = $\scriptstyle \int_a^x f(t) dt$라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

• F는 BV(a,b)의 원소, 즉 [a,b]에서 유계변동이다.
• F는 [a,b]에서 연속이다.
• f가 [a,b]상의 점 c에서 연속이면, F는 [a,b]에서 미분가능하고, F'(c) = f(c)이다. 즉,

$F'(x) = {d \over dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$

　이다.

< 증 명 a >

전 구간에서 연속인 함수 $\ f(t)$에 대해서

${d} \int_{a}^{x} f(t)dt$의 값은

근사시킨 구간[a,x]에서 f(t)와 t축사이의 의 넓이이다.

그리고 이것을 $\ dx$ (밑변)로 나눈 값이 $\ f(x)$ (높이)가 되는 것이다. 왜 $\ f(x)$가 높이가 되는지 알아보자. 연속함수에 대해 구간의 양 끝 함수값의 사이에 $\ y$값을 잡으면 그에 대응 하는 $\ x$값이 적어도 하나 존재 한다는 것을 중간값 정리에 의해 우리는 알고 있다. 구간[a,b]에서 f(x)와 x축 사이의 각 조각이 막대그래프가 되도록 하는 $\ y$값( $\ f(c)$ ) 그리고 그에 대응하는 $\ x$값을 우리는 $\ c$라 하자 (by 중간값 정리) . 이때 $\ c$의 범위는 $\ x < c < x + dx$ 의 범위를 갖는다. 그런데 $\ dx$의 값은 0을 향해 가고 ( by 미분 ) , 우리는 부등식의 극한 양쪽값이 같은 값을 같게 되면 가운데 값은 양쪽값과 같은 값을 같는다는 극한값의 성질에 의해 $\ c$가 $\ x$ 와 같아진다는 것을 알 수 있다. 그러므로 넓이 ${d} \int_{a}^{x} f(t)dt$ 에서 밑변 $\ dx$ 으로 나눈것은 높이 $\ f(x)$가 되는 것이다.

< 증 명 b >

$\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ 함수 $\ f(t)$에 대해 [a,b]에서 연속하고 (a,b)에서 미분가능하므로 함수 S(x)도 [a,b]에서 연속하고 (a,b)에서 미분가능하다.

h>0 일 때 [x, x+h]에서 f(t)는 최대값 M과 최솟값 m을 가진다.(by 최대최소 정리)

여기서 $\ mh<S(x+h)-S(x)<Mh$이므로 $\ \lim_{h \to 0} m \leq \lim_{h \to 0} \frac {S(x+h)-S(x)}h \leq \lim_{h \to 0} M$이다.

$\ \lim_{h \to 0} m = \lim_{h \to 0} M = f(x) = S'(x)$ 이므로 (by 압착 정리)

$\ S'(x)=f(x)$가 성립한다.

제2기본정리

f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능한 함수이고, 함수 F를 f의 임의의 역도함수라고 하자. 그러면,

$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$

가 성립한다. 즉, 정적분을 임의의 역도함수를 택해 그 차로 계산할 수 있다.

< 증 명 >

• 이 문서의 제1기본정리 < 증 명 b > 참조

$\ S(x)=F(x)+C$(단, C는 적분 상수)

$\ S(x)$가 $\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$로 정의되었으므로

$\ S(a)=F(a)+C=0$

위 식에서 $C=-F(a)$ , $\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt=F(x)-F(a)$이다.

따라서 $\ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$이 성립한다.

같이 보기

• 르베그 지배수렴정리 : 르베그 적분을 이용할 경우 성립하는 이 정리를 이용해 미적분학의 기본정리를 일반화할 수 있다.