미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 미적분학의 2개의 중요한 연산인 미분과 적분에 대한 정리로, 미적분학에서 매우 중요한 의미를 갖는 정리 두 개를 말한다.

미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2기본정리는 정적분을 역도함수의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 역도함수를 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

제1기본정리

함수 f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능할 때, 함수 F를 F(x) = $\scriptstyle \int_a^x f(t) dt$라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

• F는 BV(a,b)의 원소, 즉 [a,b]에서 유계변동이다.
• F는 [a,b]에서 연속이다.
• f가 [a,b]상의 점 c에서 연속이면, F는 [a,b]에서 미분가능하고, F'(c) = f(c)이다. 즉,

$F'(x) = {d \over dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$

　이다.

제1기본정리의 증명

$\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$로 두면, 함수 $\ f(t)$에 대해 [a,b]에서 연속하고 (a,b)에서 미분가능하므로 함수 $S(x)$도 [a,b]에서 연속하고 (a,b)에서 미분가능하다. h>0 일 때 [x, x+h]에서 f(t)는 최대최소 정리에 의해 최대값 M과 최솟값 m을 가진다. 여기서 $\ mh<S(x+h)-S(x)<Mh$이므로 $\ \lim_{h \to 0} m \leq \lim_{h \to 0} \frac {S(x+h)-S(x)}h \leq \lim_{h \to 0} M$이다.

압착 정리에 의해 $\ \lim_{h \to 0} m = \lim_{h \to 0} M = f(x) = S'(x)$ 이므로 $\ S'(x)=f(x)$가 성립한다.

제2기본정리

f가 폐구간 [a,b]에서 적분가능한 함수이고, 함수 F를 f의 임의의 역도함수라고 하자. 그러면,

$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$

가 성립한다. 즉, 정적분을 임의의 역도함수를 택해 그 차로 계산할 수 있다.

제2기본정리의 증명

• 이 문서의 제1기본정리의 증명 참조

$\ S(x)=F(x)+C$(단, C는 적분 상수)

$\ S(x)$가 $\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$로 정의되었으므로

$\ S(a)=F(a)+C=0$

위 식에서 $C=-F(a)$ , $\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt=F(x)-F(a)$이다.

따라서 $\ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$이 성립한다.

같이 보기

• 르베그 지배수렴정리 : 르베그 적분을 이용할 경우 성립하는 이 정리를 이용해 미적분학의 기본정리를 일반화할 수 있다.