아벨 판정법

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아벨 판정법(Abel's test, -判定法)은 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙은 무한급수의 수렴 판정법으로, 양수항이 아닌 일반적인 급수에 적용되는 강력한 판정법 중 하나이다.

공식화[편집]

실수 수열 {an}과 {bn}이 있을 때, 아벨 판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.[1]

  • \sum_{k=1}^{\infty} a_k 가 수렴하고 {bn}이 수렴하는 단조수열이라면, \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k 도 수렴한다.

증명[편집]

다음과 같이 증명할 수 있다.[1] 수열 {\sum_{k=1}^{n} a_kb_k} 이 코시 수열임을 보이면 된다. {bn}이 수렴하는 단조수열이므로 그 수렴값 b가 존재하는데, 편의상 단조감소로 가정한다. 또 수렴수열은 유계이므로, 임의의 k∈N에 대하여 |bk|≤M인 적당한 실수 M이 존재한다. \sum_{k=1}^{\infty} a_k 가 수렴하므로, 임의의 r>0에 대하여,

k>m≥N이면 |A_{k,m}[2]|< \frac{r}{4M}.

이 되는 충분히 큰 자연수 N을 잡을 수 있다. n>m으로 놓고 아벨 변환을 적용하면,

|\sum_{k=m}^n a_kb_k| \le |A_{n,m}||b_n| + \sum_{j=m}^{n-1}|A_{k,m}|(b_{k+1} - b_k) \le \frac{r}{4} + \frac{r}{4M}\sum_{k=m}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)
\le \frac{r}{4} + \frac{r}{4M}(b_{n-1} - b_m) \le \frac{r}{4} + \frac{r}{2} < r.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 181쪽.
  2. {an}의 m항부터 k항까지의 부분합

참고 문헌[편집]

  • 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.