아벨 판정법

아벨 판정법(Abel's test, -判定法)은 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙은 무한급수의 수렴 판정법으로, 양수항이 아닌 일반적인 급수에 적용되는 강력한 판정법 중 하나이다.

공식화

실수 수열 {a_n}과 {b_n}이 있을 때, 아벨 판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 가 수렴하고 {b_n}이 수렴하는 단조수열이라면, $\sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 도 수렴한다.

증명

다음과 같이 증명할 수 있다. 수열 {$\sum_{k=1}^{n} a_kb_k$} 이 코시 수열임을 보이면 된다. {b_n}이 수렴하는 단조수열이므로 그 수렴값 b가 존재하는데, 편의상 단조감소로 가정한다. 또 수렴수열은 유계이므로, 임의의 k∈N에 대하여 |b_k|≤M인 적당한 실수 M이 존재한다. $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 가 수렴하므로, 임의의 r>0에 대하여,

k>m≥N이면 |$A_{k,m}$|$< \frac{r}{4M}.$

이 되는 충분히 큰 자연수 N을 잡을 수 있다. n>m으로 놓고 아벨 변환을 적용하면,

$|\sum_{k=m}^n a_kb_k| \le |A_{n,m}||b_n| + \sum_{j=m}^{n-1}|A_{k,m}|(b_{k+1} - b_k) \le \frac{r}{4} + \frac{r}{4M}\sum_{k=m}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)$

$\le \frac{r}{4} + \frac{r}{4M}(b_{n-1} - b_m) \le \frac{r}{4} + \frac{r}{2} < r.$

같이 보기

• 아벨 변환
• 디리클레 판정법

참고 문헌

• 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.