중적분
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중적분은 정적분이 확장된 개념으로, f(x,y) 또는 f(x,y,z)와 같이 두 개 이상의 변수에 대해 정의된 함수의 정적분이다.
가장 간단한 예인 이중적분에 대해 살펴보면, 양의 함수값만을 가지는 단일 변수 함수의 정적분이 곡선과 x축 사이의 넓이를 나타내는 것과 같이, 두 개의 변수를 가지는 함수의 변역에 대한 정적분은 변역과 함수가 3차원 직교좌표계에서 표현하는 곡면 사이의 부피라 할 수 있다. 삼중적분의 경우에도, 함수에 대해 정의되는 표면과 변역 사이의 4차원에서의 부피와 같은 개념이라고 생각할 수 있다. 수학적으로 엄밀하게 정의하면 함수의 변수의 개수와 같은 수의 차원에 대한 함수값의 리만 합으로 생각할 수 있다.
[편집] 정의
이중적분의 경우, 함수가 정의된 변역 
을 임의의 가로와 세로 길이를 가진 직사각형들로 쪼개면 변역과 함수가 나타내는 표면 사이의 부피의 합은
로 근사할 수 있다.
이 때 변역을 쪼갠 직사각형 중 가로 또는 세로의 길이가 가장 큰 것 (즉, 변역의 노름인 
)가 n이 무한히 커짐에 따라 0에 가까워질 때, ΔAk 또한 0에 가까워지며 이 때 함수값들의 합이 특정한 값 Sn에 가까워지면 함수는 "적분가능하다"고 하며 그 합 Sn 을 다음과 같이 나타낸다.
.
삼중적분의 경우에도 변역 R이 3차원에서 정의된 것 (즉, 
)을 제외하면 그 원리는 이중적분의 경우와 같다. 삼중적분은 합 
의 
일 때의 극한값으로 정의할 수 있으며, 그 극한값이 존재할 때 극한값은 다음과 같이 나타낸다.
