중적분

중적분은 정적분이 확장된 개념으로, $f(x,y)$ 또는 $f(x,y,z)$와 같이 두 개 이상의 변수에 대해 정의된 함수의 정적분이다.

표면의 용적으로 나타내진 중적분. 직사각형꼴인 밑바닥은 적분의 변역이며, 표면은 2개의 변수가 있는 함수의 그래프를 나타낸다.

가장 간단한 예인 이중적분에 대해 살펴보면, 양의 함수값만을 가지는 단일 변수 함수의 정적분이 곡선과 x축 사이의 넓이를 나타내는 것과 같이, 두 개의 변수를 가지는 함수의 변역에 대한 정적분은 변역과 함수가 3차원 직교좌표계에서 표현하는 곡면 사이의 부피라 할 수 있다. 삼중적분의 경우에도, 함수에 대해 정의되는 표면과 변역 사이의 4차원에서의 부피와 같은 개념이라고 생각할 수 있다. 수학적으로 엄밀하게 정의하면 함수의 변수의 개수와 같은 수의 차원에 대한 함수값의 리만 합으로 생각할 수 있다.

정의

이중적분의 경우, 함수가 정의된 변역 $D \sub \mathbb {R}^2$을 임의의 가로와 세로 길이를 가진 직사각형들로 쪼개면 변역과 함수가 나타내는 표면 사이의 부피의 합은

$\sum_{k=1}^n f({x_k}, {y_k}) \Delta {A_k}$로 근사할 수 있다.

이 때 변역을 쪼갠 직사각형 중 가로 또는 세로의 길이가 가장 큰 것 (즉, 변역의 노름인 $\|\mathbf{x}\|$)가 n이 무한히 커짐에 따라 0에 가까워질 때, $\Delta {A_k}$ 또한 0에 가까워지며 이때 함수값들의 합이 특정한 값 $S_n$에 가까워지면 함수는 "적분가능하다"고 하며 그 합 $S_n$ 을 다음과 같이 나타낸다.

$\iint_D f(x,y) dA = \iint_D f(x,y) dxdy$.

삼중적분의 경우에도 변역 R이 3차원에서 정의된 것 (즉, $R \sub \mathbb {R}^3$)을 제외하면 그 원리는 이중적분의 경우와 같다. 삼중적분은 합 $\sum_{k=1}^n f({x_k}, {y_k}, {z_k}) \Delta {V_k}$의 $\|\mathbf{x}\| \to 0$일 때의 극한값으로 정의할 수 있으며, 그 극한값이 존재할 때 극한값은 다음과 같이 나타낸다.

$\iiint_R f(x,y,z) dV = \iiint_R f(x,y,z) dxdydz$