측도

측도(測度, measure)는 어떤 정해진 전체집합의 특정 부분집합에 대해 0 이상의 실수를 대응하는 함수이다. 측도는 집합에 일종의 크기 개념을 부여하는 함수로 볼 수 있으며, 가령 유클리드 공간에서 정의하는 길이, 넓이, 부피 개념을 포함한다.

정의

$\mu$가 집합 $X$ 상의 σ-대수 $\Sigma$를 정의역으로, 확장 구간 $[0,\infty]$을 공역으로 갖는 함수라 하자. 이때 다음의 조건들이 만족되면 이를 측도라고 부른다.

• 공집합은 영측도이다: $\mu(\varnothing) = 0$.
• 가산합 성질: $E_1, E_2, E_3,\,\!$ ...가 가산개의 서로소인 집합들일 때, $E_i\,\!$들 전부의 합집합의 측도는 각 $E_i\,\!$들의 측도를 합한 것과 같다: $\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ .

이때 $(X,\Sigma,\mu)$의 세 쌍을 측도공간(measure space)이라 하고, 각 $\Sigma$의 원소를 가측집합, $(X, \Sigma)$를 가측공간(measurable space)이라고 한다.

예제

• 셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다.
• 르베그 측도는 유클리드 공간의 길이, 넓이, 부피 의미를 측도의 정의에 맞도록 확장한 측도의 예이다.
• 확률 측도는 전체집합의 측도가 1인 측도($\mu(X)=1$)이다. 확률 공간은 주어진 측도가 확률 측도인 측도공간이다.
• 디랙 측도(Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 $a \in X$에 대해, 디랙 측도 $\delta_a(E)$는 $E$에 $a$가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 표시함수 $\mathbf{1}_E(a)$로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

이외에도 하우스도르프 측도, 하르 측도, 보렐 측도, 조르당 측도 등이 존재한다.

같이 보기

• 외측도
• 내측도
• 거의 모든 곳에서
• 르베그 적분