측도

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측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분집합에 대해 "크기"를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 직선에서의 길이, 평면에서의 넓이 · 3차원 공간에서의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도공간이라고 하며, 임의의 측도공간 위에는 르베그 적분을 정의할 수 있다.

정의[편집]

가측공간 (X,\Sigma) 위의 측도는 다음 성질들을 만족시키는 함수

\mu\colon\Sigma\to[0,\infty)\sqcup\{\infty\}

이다.

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)\in[0,\infty)\sqcup\{\infty\}

측도공간(영어: measure space) (X,\Sigma,\mu)가측공간 (X,\Sigma)과 측도 \mu순서쌍이다.

성질[편집]

임의의 측도공간 (X,\Sigma,\mu)에서 다음 명제들이 성립한다.

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i=1}^nS_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu(S_i)
\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty S_i\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcap_{i=1}^nS_i\right)

[편집]

  • 셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다.
  • 르베그 측도는 유클리드 공간의 길이, 넓이, 부피 의미를 측도의 정의에 맞도록 확장한 측도의 예이다.
  • 확률 측도는 전체집합의 측도가 1인 측도(\mu(X)=1)이다. 확률 공간은 주어진 측도가 확률 측도인 측도공간이다.
  • 디랙 측도(Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 a \in X에 대해, 디랙 측도 \delta_a(E)Ea가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시함수 \mathbf{1}_E(a)로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

이외에도 하우스도르프 측도, 하르 측도, 보렐 측도, 조르당 측도 등이 존재한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]