확장된 실수

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수학에서, 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의[편집]

확장된 실수의 집합 \bar{\mathbb R}는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

\bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{+\infty,-\infty\}

이는 다음과 같이 실선의 일부로 간주할 수 있다.

\arctan\colon\bar{\mathbb R}\to[-\pi/2,\pi/2]
\arctan(x)=\begin{cases}\pi/2&x=+\infty\\-\pi/2&x=-\infty\\\arctan(x)&x\in\mathbb R\end{cases}

이에 따라, \bar{\mathbb R}에 부분공간 위상을 줄 수 있다.

또한, \bar{\mathbb R}는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 a\in\mathbb R에 대하여,

-\infty<a<\infty

가 된다. 이에 따라서 \bar{\mathbb R}완비격자를 이룬다. 즉, 모든 부분집합은 상한하한을 갖는다.

산술 연산[편집]

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 a^+\in\mathbb R^+, a^-\in\mathbb R^-에 대하여,

(덧셈) a^+\pm\infty=a^-\pm\infty=0\pm\infty=\pm\infty\pm\infty=\pm\infty
(덧셈의 역원) -(\pm\infty)=\mp\infty
(곱셈) a^+\cdot(\pm\infty)=a^-\cdot(\mp\infty)
=\pm\cdot\infty=\mp\infty\cdot(-\infty)=\pm\infty
(곱셈의 역원) (\pm\infty)^{-1}=0

그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다.

0\cdot\infty=?
\infty-\infty=?
0^{-1}=?

다만, 측도론에서는 보통 0\cdot\infty=0으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, \bar{\mathbb R}이나 , 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다.

기타 함수[편집]

만약 어떤 실함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R

\lim_{x\to\infty}f(x)=a

인 경우,

f(\infty)=f(a)

로 정의한다. 예를 들어,

\exp(\infty)=\infty
\exp(-\infty)=0
\ln(0)=-\infty
\ln(\infty)=\infty

이다.

바깥 고리[편집]