상한과 하한

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집합 A의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소상계가 된다.

순서론에서, 어떤 집합 T의 부분 집합 S에 대해 S상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈[*]) 또는 최소 상계(最小上界, 영어: least upper bound, 약자 LUB)는, T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, 영어: infimum 인파이멈[*]) 또는 최대 하계(最大下界, 영어: greatest lower bound)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

정의[편집]

부분 순서 집합 P부분 집합 S\subset P상한 s\in P는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든 a\in P에 대하여, 만약 pS상계라면, p\le s이다.

즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 부분 순서 집합의 최소 원소이다. 마찬가지로, 부분 순서 집합 P부분 집합 S\subset P하한 i\in P는 반대 순서 P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)에서의 상한이다. 즉, 어떤 집합의 하계들의 부분 순서 집합의 최대 원소이다.

최소 원소최대 원소는 유일하므로, 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 집합 S의 상한은 \sup S로, 하한은 \inf S로 쓴다.

성질[편집]

부분 순서 집합부분 집합 S최대 원소 \max S를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, \sup S=\max S이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

[편집]

실수전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수전순서 집합 \bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{-\infty,+\infty\}의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 +\infty, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 -\infty이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 (0,1)은 상한 1을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]