하한

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하한(下限, 영어: infimum 인파이멈[*]) 또는 최대하계(最大下界, 영어: greatest lower bound)은 순서론에서 쓰이는 개념으로 자세한 정의는 다음과 같다.

일반적인 하한의 정의[편집]

순서체 F의 위로 유계인 부분집합 S의 하계 z0가 다른 모든 S의 하계 z에 대해 z0 ≧ z 를 만족하면 z0를 S의 하한이라 하고, z_0=\inf S로 표현한다.

실수에서 하한의 정의[편집]

아래로 유계인 집합 S ⊂ R 의 상계 z0가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z0 ≧ z 를 만족하면 z0를 S의 하한이라 하고, z_0=\inf S로 표현한다.

특별한 경우[편집]

  • 하계가 없는 경우, 하한은 음의 무한대이다. 즉,  \inf S = - \infty이라 한다.
  • 공집합의 하계는 양의 무한대이다. 즉,  \inf\varnothing= + \infty이다.

최솟값과의 차이[편집]

최솟값 \min S와 하한 \inf S는 서로 다르다. 최솟값의 경우는 집합 S 안에서의 가장 작은 값을 의미하지만, 하한은 굳이 집합 안의 값을 가질 필요가 없다. 예를 들어 개구간 (0,1)의 하한은 0이지만, 최솟값은 존재하지 않는다.

같이 보기[편집]