순서체

순서체(ordered field)는 완전순서가 존재하는 체이다.

정의

순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫번째 정의는 다음과 같다. 체 $(F, +, *)$와 완전순서 $\le$는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.

1. $a \le b$이면 $a + c \le b + c$이다.
2. $0 \le a,b$이면 $0 \le ab$이다.

두번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 $P \subset F$가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.

1. $a,b \in P$이면 $ab \in P$이다.
2. $a \in F$인 모든 원소에 대해 $a^2 \in P$이다.
3. $-1 \not\in P$이다.

이때 $P$는 $F$의 positive cone이라고 부른다. 이때 완전순서 $\le$를 다음과 같이 정의한다.

$a \le b \iff b-a \in P$

성질

• $x \le y, y \le z$이면 $x \le z$이다.
• $x \le y, z>0$이면 $xz \le yz$이다.
• 모든 수 $a$는 $-a \le 0 \le a$이거나 $a \le 0 \le -a$이다.
• 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
• 가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

예제

유리수, 실수, 대수적 수, 계산 가능한 수는 모두 순서체를 이룬다.

실계수 유리함수는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

• $x > c$, 여기에서 $c$는 모든 실수 상수이다.
• $p(x) = p_0 x^n + \cdots$, $q(x) = q_0 x^m + \cdots$일때 $\frac{p(x)}{q(x)} > 0 \iff \frac{p_0}{q_0} > 0$.

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.