순서체

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수학에서, 순서체(順序體, 영어: ordered field)는 완전순서가 주어진 이다.

정의[편집]

순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫 번째 정의는 다음과 같다. 체 (F, +, *)와 완전순서 \le는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.

  1. a \le b 이면 a + c \le b + c이다.
  2. 0 \le a,b이면 0 \le ab이다.

두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 P \subset F가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.

  1. a,b \in P이면 ab \in P이다.
  2. a \in F인 모든 원소에 대해 a^2 \in P이다.
  3. -1 \not\in P이다.

이때 PF양수뿔(영어: positive cone)이라고 부른다. 이때 완전순서 \le를 다음과 같이 정의한다.

a \le b \iff b-a \in P

성질[편집]

  • x \le y, y \le z이면 x \le z이다.
  • x \le y, z>0이면 xz \le yz이다.
  • 모든 수 a-a \le 0 \le a이거나 a \le 0 \le -a이다.
  • 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
  • 가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

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유리수, 실수, 대수적 수, 계산 가능한 수는 모두 순서체를 이룬다.

실계수 유리함수는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

  • x > c, 여기에서 c는 모든 실수 상수이다.
  • p(x) = p_0 x^n + \cdots, q(x) = q_0 x^m + \cdots일때 \frac{p(x)}{q(x)} > 0 \iff \frac{p_0}{q_0} > 0.

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.

반면, 유한체p진수체는 순서체를 이룰 수 없다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Ordered field. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).