초실수

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

초실수(hyperreals, hyperreal number)는 무한대와 무한소를 취급하는 수 체계이다. 초실수 또는 비표준 실수(nonstandard reals), *R은 실수 R의 확장이면서, 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.

$1 + 1 + \cdots + 1.$

이러한 수들을 ‘무한대’(infinite)들이라고 하며, 그 곱셉에 대한 역들을 ‘무한소’(infinitesimal)들이라고 한다. ‘hyper-real’이라는 용어는 1948년 에드윈 헤위트(Edwin Hewitt)에 의해 도입되었다.

응용

표준 부분

유한인 초실수 $t$는 반드시 $s \approx t$인 표준 실수 $s$가 존재한다. 이러한 표준 실수 $s$를 $t$의 표준 부분(standard part)이라고 하고 $\operatorname{st}(t)$로 표기한다. 여기에서 $\approx$는 무한히 가깝다는 기호이며, $s-t$가 무한소이거나 0이라는 의미이다.

함수의 연속

$f$가 표준 함수이고 $x$가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

• $f$가 $x$에서 연속이다.
• $x'$가 $f$의 정의역 내에 있고 $x' \approx x$이면, $f(x') \approx f(x)$.

함수의 미분

$f$가 표준 함수이고 $x$가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

• $f$가 $x$에서 미분 가능하고 $f'(x)=t$이다.
• 모든 무한소 $h$에 대하여, $t=\operatorname{st} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$가 성립한다.

예를 들어, $f$가 표준 실수에서의 함수이고 $f(x)=x^2$라고 정의된다고 하자. 임의의 무한소를 $dx$라고 하면,

$f'(x)$	$=\operatorname{st} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$
	$=\operatorname{st} \frac{(x^2+2xdx+dx^2)-x^2}{dx}$
	$=\operatorname{st} (2x+dx)$
	$=2x$이다.