초실수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

비표준해석학에서 초실수(hyperreals, hyperreal number)는 무한대무한소를 취급하는 수 체계이다. 초실수 또는 비표준 실수, *R실수 R확장이면서, 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.

1 + 1 + \cdots + 1.

이러한 수들을 무한대, 그 을 무한소라고 한다. 초실(hyper-real)이라는 용어는 1948년 에드윈 헤위트에 의해 도입되었다.[1]

응용[편집]

표준부분[편집]

유한인 초실수 t는 반드시 s \approx t인 표준 실수 s가 존재한다. 이러한 표준 실수 s
t표준부분이라고 하고 \operatorname{st}(t)로 표기한다. 여기에서 \approx는 무한히 가깝다는 기호이며, s-t가 무한소이거나 0이라는 의미이다.

함수의 연속[편집]

f가 표준 함수이고 x가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

  • fx에서 연속이다.
  • f의 정의역 내에 있는 모든 x' \approx x에 대하여, f(x') \approx f(x).

함수의 미분[편집]

f가 표준 함수이고 x가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

  • fx에서 미분 가능하고 f'(x)=t이다.
  • 모든 무한소 h에 대하여, t=\operatorname{st} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

예를 들어, f가 표준 실수에서의 함수이고 f(x)=x^2라고 정의된다고 하자. 임의의 무한소를 dx라고 하면,

f'(x) =\operatorname{st} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}
=\operatorname{st} \frac{(x^2+2xdx+dx^2)-x^2}{dx}
=\operatorname{st} (2x+dx)
=2x.

함수의 적분[편집]

초실수 체계에서 적분은 aa + dxa + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.[2]

주석[편집]

  1. Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)
  2. Keisler

같이 보기[편집]