값매김환

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추상대수학에서, 값매김환(영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 \mathbb Z_{(p)}와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정의[편집]

D정역이고, 그 분수체\operatorname{Frac}(D)이라고 하자. 만약 D가 다음 조건을 만족하는 경우, D값매김환이라고 한다.

D분수체 \operatorname{Frac}(D)의 모든 0이 아닌 원소 x\in\operatorname{Frac}(D)에 대하여, x\in D이거나 x^{-1}\in D이다.

성질[편집]

모든 값매김환은 국소환이나, 그 역은 성립하지 않는다.

값매김[편집]

값매김환 D가 주어졌다고 하자. D^\timesD의 곱셈에 대한 가역원소들의 곱셈군, \operatorname{Frac}(D)^\times가 분수체의 0이 아닌 원소들의 곱셈군이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 군 준동형사상을 생각하자.

\nu\colon\operatorname{Frac}(D)^\times\to G=\operatorname{Frac}(D)^\times/D^\times

이 경우, 아벨 군 GD값군(-群, 영어: value group)이라고 하고, \nu값매김(영어: valuation)이라고 한다. G꼬임이 없는 아벨 군이다.

값군 G에는 다음과 같은 완전순서가 존재한다.

  • \nu(a)\ge\nu(b)일 필요충분조건은 ab^{-1}\in D이다.

또한, 통상적으로 \nu(0)=\infty이며, \nu(0)>\nu(a)\forall a\ne0이라고 하자. 그렇다면 값매김 \nu는 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • \nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)
  • \nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}
  • \nu(a)=\infty일 필요충분조건은 a=0

이 가운데, 두 번째는 삼각부등식 -|a+b|\ge-|a|-|b|를 강화한 것이다.

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  • p가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 \mathbb Z_{(p)}는 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 \mathbb Q, 값매김군은 \mathbb Z\cong\{p^n\colon n\in\mathbb Z\}이다. 이 경우, 그 값매김은 \nu(p^n(a/b))=n (a,bp서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 한다.
  • 보다 일반적으로, p진 정수 \mathbb Z_p들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 \mathbb Q_p다.
  • 원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소평면 위의 유리형함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극의 계수 × −1)이다.