값매김환

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추상대수학에서, 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 \mathbb Z_{(p)}와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정의[편집]

정역 D 위의 값매김(영어: valuation) (\Gamma,\le,\nu)은 다음과 같은 순서쌍이다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (전순서의 병진 불변성) 임의의 g,h,k\in\Gamma에 대하여, g\le h라면 g+k\le h+k이다.
  • D=\{x\in(\operatorname{Frac}D)^\times\colon0\le\nu(x)\}\cup\{0\}

D정역이고, 그 분수체\operatorname{Frac}D이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

임의의 값매김환 D에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.

\Gamma=(\operatorname{Frac}D)^\times/D^\times
\nu\colon(\operatorname{Frac}D)^\times\to G
\nu\colon x\mapsto[x]=x+D^\times
[x]\le [y]\iff xy^{-1}\in D

즉, 값군 G는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 \nu는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 (D\setminus\{0\})/D^\times이다.

또한, 통상적으로 \nu(0)=\infty이며, \nu(0)>\nu(a)\forall a\ne0이라고 하자. 그렇다면 값매김 \nu는 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • \nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)
  • \nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}
  • \nu(a)=\infty일 필요충분조건은 a=0

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 -|a+b|\ge-|a|-|b|를 강화한 것이다.

성질[편집]

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

값매김환의 아이디얼[편집]

값매김 (\Gamma,\nu)를 갖춘 값매김환 D아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 \Gamma선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 \Delta\subseteq\Gamma이다.

값군 \Gamma고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

D의 진 아이디얼 \mathfrak a\subsetneq D에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.

\mathfrak a\mapsto\Gamma\setminus\bigcup_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}\{\nu(a),-\nu(a)\}

그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

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  • 원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.

p진 정수[편집]

p가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 \mathbb Z_{(p)}는 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 \mathbb Q, 값매김군은 \mathbb Z\cong\{p^n\colon n\in\mathbb Z\}이다. 이 경우, 그 값매김은 \nu(p^n(a/b))=n (a,bp서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 한다.

보다 일반적으로, p진 정수 \mathbb Z_p들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 \mathbb Q_p다.

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모든 체는 값매김환이다. 체 K의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 [0,0]=\{0\}밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

바깥 고리[편집]