국소화 (환론)

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추상대수학에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 에 곱셈의 역원을 추가하는 방법이다. 구체적으로는 R이 환이고 S가 그 부분집합일 때, R에서 새로운 환 R*로 가는 준동형사상을 만들어, S의 상이 R* 안에서는 전부 가역원(unit)이 되도록 하는 것이 목적이다. 일반적으로 이 조건을 만족하는 환 R*와 준동형사상은 무수히 많으나, 그 중에서도 '가장 적절한', 즉 일종의 보편 성질(universal property)을 만족하는 것을 국소화로 정의한다. R을 S에 대해 국소화한 것을 기호로는 S-1R이나 RS으로 쓴다.

정의[편집]

R가환환이고, S\subset R이 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r,r'\in R, s,s'\in S이고 t(rs'-r's)=0t\in S가 있다면

(r,s)\sim(r',s')

으로 정의한다. 그렇다면 S^{-1}R=(R\times S)/\sim로 놓자. 이는 대략 (r,s)r/s와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)r/s로 쓰자.

S^{-1}R 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

r/s+r'/s'=(rs'+r's)/(ss')
(r/s)(r'/s')=rr/ss'.

또한, R\to S^{-1}R로 가는 다음과 같은 환 준동형사상이 존재한다.

r\mapsto r/1.

이는 일반적으로 단사도, 전사도 아니다.

보편 성질[편집]

국소화는 다음과 같은 보편 성질로 정의할 수 있다. 국소화 환 준동형사상 \phi\colon R\to S^{-1}R은 다음 보편 성질을 만족한다.

  1. 임의의 s\in S\subset R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R는 가역원소다.
  2. (1)을 만족시키는 임의의 환 준동형사상 \tilde\phi\colon R\to R^*에 대하여, \tilde\phi=\psi\circ\phi, \psi\colon S^{-1}R\to R이 존재한다.

흔히 쓰이는 국소화[편집]

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.[1]:xvi

  • 원소 f\in R가 주어진 경우, R_fS=\{1,f,f^2,f^3,\dots\}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린 집합 U_f\subset\operatorname{Spec}R에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]_x=k[x,x^{-1}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀공간 \{x\ne0\}=\mathbb A^1_k\setminus\{0\} 위에서 정의된 유리함수들의 환이므로, \{x\ne0\}으로 국한된 것을 알 수 있다.
  • 소 아이디얼 \mathfrak p\in R가 주어진 경우, R_{\mathfrak p}S=R\setminus\mathfrak p에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R자리스키 폐포 V(\mathfrak p)근방에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀공간의 함수환 k[x]극대 아이디얼 (x)에서 국소화하면 유리함수k[x]_{(x)}=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x], g(0)\ne0\}을 얻는다. 이는 x=0근방에서 정의되는 유리함수들의 환이므로, x=0의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

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  • 0\in S이라고 하자. 그렇다면 무조건 S^{-1}R=0 (자명한 환, 즉 하나의 원소만을 포함하는 환)이다. 그 역 또한 성립한다.
  • S=\{1\}이라고 하자. 그렇다면 무조건 S^{-1}R=R이다.
  • R정역이라고 하자. 그렇다면 S^{-1}R분수체(field of fractions) \operatorname{Frac}(R)의 부분환이다. 특히, Ss\to rs단사함수r\in R들의 집합이라면 S^{-1}R=\operatorname{Frac}R이다.
  • R=\mathbb Z/n을 생각해 보자. n소수의 거듭제곱이라면 S=\{1\}이거나 0\in S이다. 만약 n=ab이고, ab가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 \mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b이다. 그렇다면 S=\{(1,0),(1,1)\}이 가능한데, 이 경우 S^{-1}R=\mathbb Z/b이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9

같이 보기[편집]