국소화 (환론)

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가환대수학에서, 국소화(局所化, 영어: localization)는 에 곱셈의 역원을 추가하는 방법이다. 구체적으로는 R이 환이고 S가 그 부분집합일 때, R에서 새로운 환 R*로 가는 환 준동형을 만들어, S의 상이 R* 안에서는 전부 가역원이 되도록 하는 것이 목적이다. 일반적으로 이 조건을 만족하는 환 R*와 환 준동형은 무수히 많으나, 그 중에서도 '가장 적절한', 즉 일종의 보편 성질을 만족하는 것을 국소화로 정의한다. R을 S에 대해 국소화한 것을 기호로는 S−1R이나 RS으로 쓴다.

정의[편집]

R가환환이고, S\subset R가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r,r'\in R, s,s'\in S이고 t(rs'-r's)=0t\in S가 있다면

(r,s)\sim(r',s')

으로 정의한다. 그렇다면 S^{-1}R=(R\times S)/\sim로 놓자. 이는 대략 (r,s)r/s와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)r/s로 쓰자.

S^{-1}R 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

r/s+r'/s'=(rs'+r's)/(ss')
(r/s)(r'/s')=rr/ss'.

또한, R\to S^{-1}R로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

r\mapsto r/1.

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

보편 성질[편집]

국소화는 다음과 같은 보편 성질로 정의할 수 있다. 국소화 환 준동형 \phi\colon R\to S^{-1}R은 다음 보편 성질을 만족한다.

  1. 임의의 s\in S\subset R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R는 가역원소다.
  2. (1)을 만족시키는 임의의 환 준동형 \phi'\colon R\to R'에 대하여, \phi'=\chi\circ\phi, \chi\colon S^{-1}R\to R'이 존재한다.
\begin{matrix}
R&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}R\\
&{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&R'
\end{matrix}

가군의 국소화[편집]

가환환 R의 곱셈에 대한 부분 모노이드 S\subseteq RR 위의 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, MS에서의 국소화 S^{-1}MR 위의 가군이며, 다음과 같다.

S^{-1}M=M\otimes_RS^{-1}R

또한, 표준적인 사상 \phi\colon M\to S^{-1}R가 존재한다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 R-가군의 준동형 \phi_N\colon M\to N에 대하여, 만약 임의의 s\in S에 대하여 s\cdot\colon N\to N전단사라면, \phi_N=\chi\circ\phi인 준동형 \chi\colon S^{-1}M\to N이 존재한다.

\begin{matrix}
M&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}M\\
&{\scriptstyle\phi_N}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&N
\end{matrix}

흔히 쓰이는 국소화[편집]

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.[1]:xvi

  • 원소 f\in R가 주어진 경우, R_fS=\{1,f,f^2,f^3,\dots\}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린 집합 U_f\subset\operatorname{Spec}R에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]_x=k[x,x^{-1}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 \{x\ne0\}=\mathbb A^1_k\setminus\{0\} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, \{x\ne0\}으로 국한된 것을 알 수 있다.
  • 소 아이디얼 \mathfrak p\in R가 주어진 경우, R_{\mathfrak p}S=R\setminus\mathfrak p에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R자리스키 폐포 V(\mathfrak p)근방에 국한한 것이다.

성질[편집]

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R소 아이디얼들은 R의 소 아이디얼 가운데 S서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

f\colon\operatorname{Spec}(S^{-1}R)\to\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\cap S=\varnothing\}
f\colon\mathfrak q\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak q)

여기서 \phi\colon R\to S^{-1}R는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, R소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, R_{\mathfrak p}국소환이며, 유일한 극대 아이디얼\mathfrak p에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성[편집]

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 가환환 R 위의 단사 가군 I 및 임의의 원소 r\in R에 대하여, I\to I_r전사 함수이다.[1]:214, Lemma III.3.3

[편집]

  • 0\in S이라고 하자. 그렇다면 무조건 S^{-1}R=0 (자명환)이다. 그 역 또한 성립한다.
  • S=\{1\}이라고 하자. 그렇다면 무조건 S^{-1}R=R이다.
  • R정역이라고 하자. 그렇다면 S^{-1}R분수체 \operatorname{Frac}R의 부분환이다. 특히, (R\setminus\{0\})^{-1}R=\operatorname{Frac}R이다.
  • 정수환몫환 R=\mathbb Z/(n)을 생각해 보자. n소수의 거듭제곱이라면 S=\{1\}이거나 0\in S이다. 만약 n=ab이고, ab가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 \mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b이다. 그렇다면 S=\{(1,0),(1,1)\}이 가능한데, 이 경우 S^{-1}R=\mathbb Z/b이다.

정수환의 국소화[편집]

정수환 \mathbb Z소 아이디얼소수주 아이디얼 (p) 또는 영 아이디얼 (0)이다.

정수환 \mathbb Z를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

\mathbb Z_{(p)}=\{m/n\colon\gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq\mathbb Q
\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q

즉, 분모가 p의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, \mathbb Z_{(p)}이산 값매김환이며, \mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q이다.

정수환의 \mathbb Z를 원소 k\in\mathbb Z에서 국소화하면 다음과 같다.

\mathbb Z_k=\{m/k^n\colon\gcd\{m,k\}=1,\;n\in\mathbb N\}\subsetneq\mathbb Q\qquad(k\ne0)
\mathbb Z_0=0 (자명환)

즉, 분모가 k의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 \mathbb Z_p로 표기되는 p진 정수의 환와 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]