정역

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수학의 한 분야인 추상대수학에서, 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 R가 다음 두 조건을 만족시킨다면, R정역이라고 한다.

  • (영인자의 부재) 모든 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, ab\ne0이다.
  • (비자명성) R자명환이 아니다. 즉, 1\ne0이다.

성질[편집]

R가 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환이라고 하자. 그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • R는 정역이다.
  • R는 영 아이디얼이 소 아이디얼인 정역이다.
  • R\setminus\{0\}이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
  • R부분환과 동형이다.
  • R자명환이 아니며, R의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원소이다.

여기서, 임의의 R의 원소 r\in R에 대하여, (r\cdot)\colon R\to R,\;s\mapsto rs단사 함수일 경우 r정칙원소(正則元素, 영어: regular element)라고 한다.

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