국소환

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국소환(局所環, 영어: local ring)은 수학추상대수학 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. 국소대수학은 가환환과 그 위의 가군을 다루는 가환대수학의 세부 분야이다.

정의 및 기초적 성질[편집]

다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 환을 국소환이라 한다.

  • 극대 좌 아이디얼이 유일하게 존재한다.
  • 극대 우 아이디얼이 유일하게 존재한다.
  • 1 ≠ 0이며 임의의 두 비가역원을 더하면 비가역원이 된다.
  • 1 ≠ 0이며 임의의 원소 x에 대해 x와 1-x 중 적어도 하나는 가역원이다.
  • 유한개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다(이 경우 원소들을 0개 더한 합을 생각하면 그 항들 중에 가역원이 없으므로 그 합인 0도 비가역원이고, 따라서 1 ≠ 0이다).

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 좌 아이디얼과 극대 우 아이디얼 및 제이콥슨 근기가 전부 일치한다. 세 번째 조건에 따라 비가역원들의 집합은 진 아이디얼을 이루며, 제이콥슨 근에 포함된다. 네 번째 조건은 서로소인 (좌) () 진 아이디얼들이 존재하지 않는다는 것으로 쓸 수 있다(두 아이디얼 I,J가 서로소라 함은 R = I + J임을 말한다).

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (좌측과 우측 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 “유사 국소환”이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다.

대수기하학적 해석[편집]

대수기하학에서는 (가환) 국소환들이 자주 등장하며, 이는 보통 가환환소 아이디얼에서 국소화하여 얻어진다.

국소환을 아핀 스킴으로 여기면, 자리스키 위상에서 극대 아이디얼들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나만의 닫힌 점을 포함하는 아핀 스킴이다. 즉, 이 점의 근방 위의 함수환으로 여길 수 있다. 실제로, 일반적 스킴을 임의의 점 (소 아이디얼)에서 국소화하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다.

역사[편집]

국소환의 개념은 볼프강 크룰1938년독일어: Stellenringe(위치환)라는 명칭으로 도입하였다.[1] "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Krull, Wolfgang (1938년 1월). Dimensionstheorie in Stellenringen. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1938 (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.
  2. (영어) Zariski, Oscar (1943년 5월). Foundations of a General Theory of Birational Correspondences. 《Transactions of the American Mathematical Society》 53 (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.

함께 보기[편집]