국소환

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국소환(局所環, 영어: local ring)은 수학추상대수학 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. 국소대수학은 가환환과 그 위의 가군을 다루는 가환대수학의 세부 분야이다.

정의 및 기초적 성질[편집]

다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 환을 국소환이라 한다.

  • 극대 좌 아이디얼이 유일하게 존재한다.
  • 극대 우 아이디얼이 유일하게 존재한다.
  • 1 ≠ 0이며 임의의 두 비가역원을 더하면 비가역원이 된다.
  • 1 ≠ 0이며 임의의 원소 x에 대해 x와 1-x 중 적어도 하나는 가역원이다.
  • 유한개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다(이 경우 원소들을 0개 더한 합을 생각하면 그 항들 중에 가역원이 없으므로 그 합인 0도 비가역원이고, 따라서 1 ≠ 0이다).

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 좌 아이디얼과 극대 우 아이디얼 및 제이콥슨 근이 전부 일치한다. 세 번째 조건에 따라 비가역원들의 집합은 진 아이디얼을 이루며, 제이콥슨 근에 포함된다. 네 번째 조건은 서로소인 (좌) () 진 아이디얼들이 존재하지 않는다는 것으로 쓸 수 있다(두 아이디얼 I,J가 서로소라 함은 R = I + J임을 말한다).

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (좌측과 우측 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 “유사 국소환”이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다.

역사[편집]

국소환의 개념은 볼프강 크룰1938년독일어: Stellenringe(위치환)라는 명칭으로 도입하였다.[1] "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Krull, Wolfgang (1938년 1월). Dimensionstheorie in Stellenringen. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1938 (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.
  2. (영어) Zariski, Oscar (1943년 5월). Foundations of a General Theory of Birational Correspondences. 《Transactions of the American Mathematical Society》 53 (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.

함께 보기[편집]