분수체

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추상대수학에서, 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환국소화의 특수한 경우다.

정의[편집]

R정역이라고 하자. 순서쌍 (a,b) (a,b\in R, b\ne0)들에 대하여 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

(a,b)\sim(ar,br)\forall r\in R\setminus\{0\}

이러한 순서쌍의 동치류a/b라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 의 구조를 줄 수 있다.

(a/b)(c/d)=ac/bd
a/b+c/d=(ad+bc)/bd

이 체를 정역 R분수체 \operatorname{Frac}(R) 또는 \operatorname{Quot}(R)라고 한다. 이에 따라, 표준적인 단사 환 준동형

R\to\operatorname{Frac}R
r\mapsto(r/1)

이 존재한다.

이는 정역의 국소화 R_{R\setminus\{0\}}와 같다. 즉, 0이 아닌 모든 원소에서의 국소화이다.

[편집]

수체 K대수적 정수환 \mathcal O_K의 분수체는 K이다.

\operatorname{Frac}\mathcal O_K=K

특히, (유리수의) 정수환 \mathbb Z=\mathcal O_{\mathbb Q}의 분수체는 유리수체이다.

\operatorname{Frac}\mathbb Z=\mathbb Q

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 K에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname{Frac}K=K

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 K에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname{Frac}K[x_1,x_2,\dots,x_n]=K(x_1,x_2,\dots,x_n)

바깥 고리[편집]