가환환

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가환대수학에서, 가환환(可換環, 영어: commutative ring)이란 곱셈이 교환 법칙을 만족시키는 이다. 가환환과 그 위의 가군을 연구하는 환론의 분야를 가환대수학이라고 한다.

정의[편집]

(R,+,\cdot,0,1)에서, (R,+,0)아벨 군을 이루며, (R,\cdot,1)모노이드를 이룬다. 만약 (R,\cdot,1)이 가환 모노이드를 이룬다면, R가환환이라고 한다. 즉, 가환환에서는 모든 r,s\in R에 대하여 rs=sr이다.

마찬가지로, 유사환 (R,+,\cdot,0)에서, (R,+,0)아벨 군을 이루며, (R,\cdot)반군을 이룬다. 만약 (R,\cdot)이 가환 반군을 이룬다면, R가환 유사환(영어: commutative pseudoring, commutative rng)이라고 한다.

성질[편집]

가환환과 환 준동형 사상의 범주 \operatorname{CRing}는 정의에 따라 아핀 스킴의 범주 \operatorname{Aff}반대 범주동치이다.

\operatorname{CRing}\stackrel{\operatorname{Spec}}{\simeq}\operatorname{Aff}^{\operatorname{op}}

구체적으로, 이 동치는 환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}에 의하여 주어진다. 즉, 스킴 이론을 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.

가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.

시작 대상 정수환 \mathbb Z
끝 대상 자명환 0
직접곱
쌍대곱 가환환의 자유곱
동등자 집합의 범주에서의 동등자
쌍대동등자 f,g\colon R\to S에 대하여, \operatorname{coeq}(f,g)=S/(f(r)-g(r)\colon r\in R)

가환환의 범주 \operatorname{CRing}의 범주 \operatorname{Ring}충만한 부분 범주를 이루며, 모든 극한을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 쌍대극한은 일반적으로 다르다.

종류[편집]

특수한 성질을 갖는 가환환들은 다음이 있으며, 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

⊋ 가환환 ⊋ 정역정수적으로 닫힌 정역크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

[편집]

가환환의 예로는 다음을 들 수 있다.

비가환환의 예로는, 실수 행렬환 \operatorname{Mat}(n;\mathbb R)이 있다. 이는 n\times n 정사각 행렬로 구성된 환인데, n\ge2라면 이는 가환환이 아니다.

바깥 고리[편집]