가환환

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수학환론에서 가환환(可換環, 영어: commutative ring)이란 곱셈이 교환법칙을 만족하는 을 말한다. 즉, 가환환 (R, +, ×)의 임의의 원소 a와 b에 대하여 a×b=b×a가 성립한다. 가환이 아닌, 다시 말해 교환법칙을 만족하지 않는 환을 비가환환(非可換環, 영어: noncommutative ring)이라고 한다.

가환대수학은 가환환을 연구하는 수학의 분야이다.

[편집]

  • 중요한 예로 정수의 집합에 일반적인 덧셈과 곱셈이 주어진 것이 있다. 여기에서 곱셈은 가환법칙을 만족하며, 따라서 정수환 Z는 가환환이다.
  • 모든 는 가환환이다. 대표적인 예로, 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있다.
  • 비가환환의 간단한 예로 실수 계수 2행 2열 행렬의 환이 있다. 아래 두 행렬의 곱
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
은 똑같은 행렬들을 반대 순서로 곱한 것과 같지 않다:
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}.