뇌터 환

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추상대수학에서 뇌터 환(Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름사슬 조건(ascending chain condition)을 만족하는 이다. 에미 뇌터의 이름을 따 지어졌다.

개론[편집]

상의 다항식환은 여러 가지 좋은 성질을 갖고 있다. 에미 뇌터는 그 핵심적인 이유가 다항식환의 아이디얼들이 오름사슬 조건을 만족하기 때문이라는 것을 발견했다. 즉, 다항식환은 환으로서 지나치게 크지 않기 때문인 것이다.

비가환환에 대해서는 다음의 세 가지 개념을 서로 구분해야 한다.

  • 환의 좌 아이디얼들이 오름사슬 조건을 만족하면 이를 좌 뇌터 환(left-Noetherian ring)이라 한다.
  • 환의 우 아이디얼들이 오름사슬 조건을 만족하면 이를 우 뇌터 환(right-Noetherian ring)이라 한다.
  • 좌 뇌터 환인 동시에 우 뇌터 환인 경우 이를 뇌터 환이라 한다.

가환환에서는 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로 위의 세 개념은 전부 동일한 것이다.

뇌터 환과 동치인 조건[편집]

다음 조건들은 환 R이 좌 뇌터 환인 것과 동치이다.

  • R의 모든 좌 아이디얼 I가 유한 생성된다. 즉, I의 원소 a1, ..., an가 존재해서 I = Ra1 + ... + Ran로 나타낼 수 있다.
  • R의 좌 아이디얼들을 모은 임의의 공집합이 아닌 집합은 집합의 포함관계에 대해 극대원소를 갖는다.

우 뇌터 환에 대해서도 위와 비슷한 결과가 성립한다. 특정한 가환환이 뇌터 환임을 보이기 위해서는 모든 소 아이디얼이 유한 생성된다는 것을 증명하는 것으로 충분하다.