대수다양체

대수기하학에서, 대수다양체(algebraic variety)란 다항식들로 주어지는 방정식의 해들의 집합이다. 고전적인 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다. 방정식을 정의하는 공간에 따라 아핀 대수다양체와 사영 대수다양체 등이 있다.

정의

고전적 대수기하학에서는 보통 아핀 대수다양체(affine variety)와 사영 대수다양체(projective variety)를 정의한다.

아핀 대수다양체

$k$가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb A^n$이 $k$에 대한 아핀 공간이라고 하자. $S$가 다항식환 $k[x_1,\dots,x_n]$의 부분집합이라고 할 때, $V(S)\subset\mathbb A^n$가 $S$의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

$V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}$

이다. 그렇다면 아핀 대수집합(affine algebraic set) $X\subset\mathbb A^n$이란 $X=V(S)$인 $S\subset k[x_1,\dots,x_n]$이 존재하는 부분집합이다. 아핀 대수다양체는 두 개의 아핀 대수집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수집합이다.

아핀 대수집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수집합은 위상공간을 이룬다.

준아핀 대수다양체(quasiaffine variety)는 아핀 대수다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 부분집합이다.

사영 대수다양체

$k$가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb P^n$이 $k$에 대한 사영공간이라고 하자. $S\subset k[x_1,\dots,x_n]$이 동차다항식으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 $V(S)$가 $S$의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

$V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}$

이다. (다항식이 동차다항식이 아닌 경우에는 사영공간에서의 근을 정의할 수 없다.) 사영 대수집합(projective algebraic set) $X\subset\mathbb A^n$이란 $X=V(S)$인 동차다항식 부분집합 $S\subset k[x_1,\dots,x_n]$이 존재하는 부분집합이다. 사영 대수다양체는 두 개의 사영 대수집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수집합이다. 준사영 대수다양체(quasiprojective variety)는 사영 대수다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 부분집합이다. 아핀 공간은 사영공간의 열린 부분집합이므로, 모든 아핀 대수다양체는 준사영 대수다양체다.

일반적인 대수다양체

$k$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. $k$에 대한 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 $X$ 위에 열린 덮개 $\{U_\alpha\}$가 존재하여, $U_\alpha$ 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.^:58 이 정의에 따라, 위에서 정의한 고전적인 대수다양체들 (아핀, 준아핀, 사영, 준사영)은 모두 대수다양체이다. 이 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였고 장피에르 세르가 환 달린 공간의 개념을 사용하여 개량하였다. 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다.

이 정의를 바탕으로 알렉산더 그로텐디크는 대수다양체를 일반화한 스킴의 개념을 정의하였다. 스킴 용어를 사용하면, 대수다양체는 $k$가 대수적으로 닫힌 체이고, 달린 환이 모두 정역이고, 유한 형태(finite type)이고, 분리된(separated) 스킴이다.^:105