대수다양체

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대수기하학에서, 대수다양체(algebraic variety)란 다항식들로 주어지는 방정식들의 집합이다. 고전적인 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다. 방정식을 정의하는 공간에 따라 아핀 대수다양체와 사영 대수다양체 등이 있다.

정의[편집]

고전적 대수기하학에서는 보통 아핀 대수다양체(affine variety)와 사영 대수다양체(projective variety)를 정의한다.

아핀 대수다양체[편집]

k대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. \mathbb A^nk에 대한 아핀 공간이라고 하자. S가 다항식환 k[x_1,\dots,x_n]의 부분집합이라고 할 때, V(S)\subset\mathbb A^nS의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}

이다. 그렇다면 아핀 대수집합(affine algebraic set) X\subset\mathbb A^n이란 X=V(S)S\subset k[x_1,\dots,x_n]이 존재하는 부분집합이다. 아핀 대수다양체는 두 개의 아핀 대수집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수집합이다.

아핀 대수집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수집합은 위상공간을 이룬다.

준아핀 대수다양체(quasiaffine variety)는 아핀 대수다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 부분집합이다.

사영 대수다양체[편집]

k대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. \mathbb P^nk에 대한 사영공간이라고 하자. S\subset k[x_1,\dots,x_n]동차다항식으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 V(S)S의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}

이다. (다항식이 동차다항식이 아닌 경우에는 사영공간에서의 근을 정의할 수 없다.) 사영 대수집합(projective algebraic set) X\subset\mathbb A^n이란 X=V(S)인 동차다항식 부분집합 S\subset k[x_1,\dots,x_n]이 존재하는 부분집합이다. 사영 대수다양체는 두 개의 사영 대수집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수집합이다. 준사영 대수다양체(quasiprojective variety)는 사영 대수다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 부분집합이다. 아핀 공간사영공간의 열린 부분집합이므로, 모든 아핀 대수다양체는 준사영 대수다양체다.

일반적인 대수다양체[편집]

k대수적으로 닫힌 체라고 하자. k에 대한 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 X 위에 열린 덮개 \{U_\alpha\}가 존재하여, U_\alpha 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.[1]:58 이 정의에 따라, 위에서 정의한 고전적인 대수다양체들 (아핀, 준아핀, 사영, 준사영)은 모두 대수다양체이다. 이 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였고[2] 장피에르 세르환 달린 공간의 개념을 사용하여 개량하였다.[3] 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다.

이 정의를 바탕으로 알렉산더 그로텐디크는 대수다양체를 일반화한 스킴의 개념을 정의하였다. 스킴 용어를 사용하면, 대수다양체는 k대수적으로 닫힌 체이고, 달린 환이 모두 정역이고, 유한 형태(finite type)이고, 분리된(separated) 스킴이다.[1]:105

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977). 《[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]》. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9
  2. (영어) Weil, André (1946). 《Foundations of Algebraic Geometry》, American Mathematical Society Colloquium Publications 29, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
  3. (프랑스어) Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). Faisceaux algébriques cohérents. 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197-278. doi:10.2307/1969915.