다양체

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이 글은 위상수학의 다양체(manifold)에 관한 것입니다. 대수기하학에서 다루는 대상(variety)에 대해서는 대수다양체 글을 참조하십시오.

수학에서 다양체(多樣體) 혹은 매니폴드(manifold)는 대략적으로 말하자면, 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 도형을 말한다. 임의의 점 근처에서(국소적으로 locally)는 유클리드 공간과 비슷하지만, 다양체 전체는(전역적으로 globally) 유클리드 공간과 다른 연결 구조를 가지고 있을 수 있다.

예를 들어, 구면은 충분히 가까이에서 보면 평면, 즉 2차원 유클리드 공간처럼 보인다. 이것은 구면 위에서 사는 작은 개미를 상상하거나, 중세 이전(고대 그리스를 제외하고)에 지구가 평평하다고 생각했던 것을 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 그러나 구면 전체는 특별하게 연결되어 있어, 평면만으로는 구면을 이해할 수 없다. 평면에 펼쳐 그린 세계지도를 보면 지구를 한 바퀴 돌아서 제자리에 돌아온다는 것을 나타낼 수 없다.

직관적으로 전혀 떠올리기 힘든 집합도 다양체로 취급하여, 기하학적으로 다루는 경우가 있다. 물론, 다양체가 아닌 도형(예를 들면, 페아노곡선, 프랙탈)도 있다.

[편집] 정의

M 을 위상공간(하우스도르프공간)이라 하자. M 의 임의의 점 a 에 대하여, a 를 포함한 열린집합 $U$ 가 있어서, $U$ 가 $m$ 차원 유클리드공간의 열린집합 $U'$ 과 위상동형일 때, M 을 (경계가 없는) 위상다양체라 한다. 나아가, a 가 두 열린집합 $U, V$ 에 포함되어 있고, 각각 유클리드 공간의 열린집합 $U', V'$ 과 동상이라고 하자：

$\phi :\, U \to U'$

$\psi :\, V \to V'$

이 경우, 함수 $\psi \circ \phi ^{-1} : \phi ( U \cap V ) \to \psi ( U \cap V )$ 는, $m$ 차원 유클리드 공간의 열린집합에서 열린집합으로 가는 사상이 된다. 이 사상이 $C n$ 급일 때, M 을 $C n$ 급 $m$ 차원(미분가능)다양체라고 한다. 위의 $φ$ 와 $ψ$ 를 국소좌표계라 한다.