다양체

이 문서는 위상수학의 다양체(manifold)에 관한 것입니다. 대수기하학에서 다루는 대상(variety)에 대해서는 대수다양체 문서를 참조하십시오.

원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 다양체이다.

다양체(多樣體) 혹은 매니폴드(manifold)는 국소적으로 볼 때 유클리드 공간과 닮은 도형을 말한다. 즉, 다양체의 임의의 점 근처의 공간은 유클리드 공간과 비슷하지만(위상동형사상), 다양체의 전체적인 구조는 유클리드 공간과 다른 구조를 가지고 있을 수 있다.

예를 들어, 구면은 충분히 가까이에서 보면 평면(2차원 유클리드 공간)과 같게 보인다. 하지만 구면 전체의 구조는 평면과는 다른 구조를 가지고 있고, 예를 들어서 구면에서 점이 한 바퀴 돌아 원래 위치로 돌아오는 것은 평면과는 다른 성질이다.

정의 [편집]

M 을 위상공간(하우스도르프 공간)이라 하자. M 의 임의의 점 a 에 대하여, a 를 포함한 열린집합 $U$ 가 있어서, $U$ 가 $m$ 차원 유클리드공간의 열린집합 $U'$ 과 위상동형일 때, M 을 (경계가 없는) 위상다양체라 한다. 나아가, a 가 두 열린집합 $U, V$ 에 포함되어 있고, 각각 유클리드 공간의 열린집합 $U' , V'$ 과 동상이라고 하자：

$\phi :\, U \to U'$

$\psi :\, V \to V'$

이 경우, 함수 $\psi \circ \phi ^{-1} : \phi ( U \cap V ) \to \psi ( U \cap V )$ 는, $m$ 차원 유클리드 공간의 열린집합에서 열린집합으로 가는 사상이 된다. 이 사상이 $C^n$ 급일 때, M 을 $C^n$ 급 $m$ 차원(미분가능)다양체라고 한다. 위의 $\phi$ 와 $\psi$ 를 국소좌표계라 한다.