기하학

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사이클로피디아(1728년)의 기하학 표.

기하학(幾何學)은 도형의 길이, 넓이, 각도 등의 양을 측정하거나 공간의 수학적 특성을 연구하는 학문이다. 고대의 각 문명에서 토지의 측량이나 곡물의 부피 등을 계산하면서 발전하였으며 수학의 역사에서 가장 오래된 분야이다.

기하학을 뜻하는 그리스어 γεωμετρία는 “땅”(γεω)과 “측량”(μετρία)을 합친 것으로, 기하학의 출발이 토지의 측량이었음을 보여준다. 이 단어는 나중에 라틴어 geometria가 되어 유럽으로 퍼져 나갔다.

한자어 幾何는 명나라의 서광계가 만든 단어이다. 그는 마테오 리치와 함께 유클리드의 책을 번역하였는데, 이때 제목을 《幾何原本》으로 정하였다. 幾何는 geo의 음역이기도 하지만, 중국 전통의 수학 책에서 흔히 사용되던 표현인 “얼마인가?”를 뜻하므로, 이것은 “수학”의 뜻을 살린 번역이기도 하다.

[편집] 역사

[편집] 고대 문명의 기하학

고고학적 유물을 통하여 확인되는 가장 오래된 수학은 고대 이집트 문명과 바빌로니아 문명의 것으로 기원전 2000년경에 이미 상당한 수준의 기하학적 지식이 축적되어 있었음을 보여준다. 이집트 문명의 경우 기원전 1600년경에 제작된 것으로 추정되는 아메스 파피루스가 당대의 수학을 보여주는 대표적인 유물이다. 여기에는 각종 도형의 넓이와 입체의 부피를 구하는 방법이 적혀 있다. 이집트의 파피루스와 달리 바빌로니아 문명의 흔적은 점토판으로 남아 있다. 특히 YBC 7289로 불리는 기원전 1800년에서 기원전 1600년 사이의 점토판은 당시 바빌로니아 인들이 정사각형의 대각선의 길이를 상당한 정밀도로 구하였음을 보여준다. 이것은 단순히 길이를 측정한 것이 아니라 발달된 기하학을 이용한 결과였다.

아메스 파피루스

YBC 7289 점토판

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[편집] 고대 그리스의 기하학

측량과 측정 기술로서의 실용적 기하학은 고대 중국과 인도를 비롯한 여러 문명에서 발전하였으나, 도형이 가진 내재적 성질을 연구하는 학문으로서의 기하학은 고대 그리스에서 시작하였다. 그리스 인들은 단순한 계산이 아니라, 논증을 통하여 기하학을 체계적인 학문으로 쌓아 올렸다. 그리스 일곱 현인 중의 한 명인 탈레스(Thales)는 이러한 관점에서 기하학을 논한 최초의 인물 가운데 한 명이다. 탈레스의 수학은 이집트의 수학으로부터 시작하였지만, 이집트의 실용 기하에서는 생각하지 못했던 개념을 많이 발견하였다. 닮음비도 그 가운데 하나로, 그가 닮은 삼각형을 이용하여 피라미드의 높이를 잰 것은 유명한 일화이다. 그는 이밖에도 자신의 이름이 붙게 되는 여러 가지 수학적 정리를 남겼다.

고대 그리스 기하학의 특징을 보여주는 예로 두 맞꼭지각의 크기가 같음을 증명하는 과정을 들 수 있다. 특정한 맞꼭지각의 크기를 직접 재어서 두 각이 같음을 확인하는 것이 아니라, 논증을 통하여 어떤 맞꼭지각이든 그 크기는 언제나 같을 수밖에 없음을 보이는 것이 그리스의 기하학이었다. 이 증명 또한 탈레스의 발견이라고 전해진다.

피타고라스의 정리로 유명한 피타고라스 또한 고대 그리스 수학의 발전에 크게 공헌한 수학자이다. 피타고라스의 정리 자체는 고대 여러 문명에서 알고 있던 지식이었지만, 처음으로 수학적 증명에 성공한 인물이 피타고라스로 알려져 있다. 그의 엄밀한 기하학적 논증은 기하학 자체뿐 아니라 수의 성질에 대한 탐구로 이어져 최초로 무리수를 발견하는 계기가 되었다.

고대 그리스 기하학이 정점에 이른 것은 유클리드의 저작 원론에 이르러서였다. 그는 그때까지 그리스 수학자들이 이루었던 성과를 13권의 원론에 체계적으로 정리하였다. 특히 23개의 정의와 5개의 공준으로부터 연역적으로 정리들을 이끌어내는 원론의 전개 방식은 이후의 수학 서적에 큰 영향을 미쳤다.

[편집] 근대의 기하학

[편집] 현대의 기하학

[편집] 유클리드 기하와 비유클리드 기하

[편집] 유클리드 기하학

[편집] 비유클리드 기하학

[편집] 형식주의적 기하학

[편집] 바깥 고리

(영어) 기하 예술 기하학을 이용한 조형.

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