타원

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두 점 F1과 F2를 초점으로 갖는 타원.
원뿔평면으로 잘라 얻은 타원.

타원(楕圓)이란 평면 위의 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합으로 만들어지는 곡선을 이르는 기하학 용어이다. 타원을 정의하는 기준이 되는 두 정점은 타원의 초점(focus)으로 불린다. 타원 상에서 두 개의 초점으로부터의 거리가 같은 두 점을 잇는 선분을 단축(짧은 축)이라고 하며, 두 개의 초점으로부터의 거리의 차가 최대인 두점을 잇는 선분을 타원의 장축(긴 축)이라고 한다. 또한, 이 두 선분의 반을 짧은반지름(semiminor axis), 긴반지름(semimajor axis)이라고 한다 폴수학 학생이 장난침

타원의 성질[편집]

두 초점이 가까울 수록 타원은 에 가까워지며, 두개의 초점이 일치했을 때의 타원은 원이 된다. 그 때문에 원은 타원의 특수한 경우라고 생각할 수도 있다.

타원의 작도[편집]

위의 정의를 따르면 두 개의 초점에 실을 고정해, 실을 팽팽하게 유지하면서 필기구를 실에 걸쳐서 움직여서 그릴 수 있다. 이 외, 타원 컴퍼스, 타원 템플릿등을 사용하여 작도할 수 있다.

타원의 방정식[편집]

2차원 직교좌표계에서 원점 O가 타원의 장축과 단축의 교점이며, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 다음과 같이 간단히 표현된다.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

장축이 x축과 일치할 때, 2 a는 타원의 장축의 길이, 2 b는 단축의 길이가 된다. 같은 타원을 호도각에 따른 매개변수 t로 나타내면 다음과 같다.

x = a\,\cos t
y = b\,\sin t
0 \leq t < 2\pi

x축으로 α만큼, y축으로 β만큼 평행이동한 타원의 방정식은 다음과 같다.

\frac{(x-\alpha)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-\beta)^{2}}{b^{2}} = 1

타원의 넓이[편집]

타원의 긴반지름이 a이고 짧은반지름이 b인 타원의 넓이는 \pi ab 이다.

이심률[편집]

타원의 찌그러진 정도를 나타내는 이심률  E=\frac {e} {a} 는 다음과 같이 정의된다.

E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

은 이심률이 0인 경우이고, 이심률이 작을수록 원에 가깝다.

타원의 성질[편집]

한 초점에서 출발한 빛이 진행하다가 타원의 어느 한점을 만나면 이때 빛은 페르마의 최소 시간 원리를 따르므로 타원에서 반사되고 그 후 빛은 타원의 다른 초점을 지난다.