포물선

포물선(抛物線)은 평면에서 초점 F와 준선 L이 주어졌을때, F에 이르는 거리와 L에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다.

포물선(抛物線)은 평면에서 어떤 점 F와 F를 지나지 않는 직선 $l\,$이 주어졌을때, F에 이르는 거리와 $l\,$에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. 이때 F를 초점(焦點, focus), $l\,$을 준선(準線, directrix)이라 한다. 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 대칭인데 이를 축이라 하고, 축과 포물선의 교점을 꼭지점이라 한다. 한편 준선이 y축에 수직인 포물선은 이차 함수이다.

포물선의 방정식

준선이 x축에 수직인 포물선

초점 F를 F(p,0), 준선l을 x = − p라 하면 포물선의 방정식은

y² = 4px로 준선이 x축에 수직인 포물선이 된다.

이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행 이동하면

$(y\,-n)^2=4p\,(x\,-m)$ 이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 (p + m,n), 준선은 x = − p + m이 된다.

• 표준형 :(y − n)² = 4p(x − m)
• 일반형 :y² + Ay + Bx + C = 0 (단,B ≠ 0)
• 초점  :(p + m,n),
• 준선  :x = − p + m

준선이 y축에 수직인 포물선

초점 F를 F(0,p), 준선l을 y = − p라 하면 포물선의 방정식은 x² = 4py로 준선이 y축에 수직인 포물선이 된다. 이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면

$(x\,-m)^2=4p\,(y\,-n)$ 이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 (m,p + n), 준선은 y = − p + n이 된다.

• 표준형 :(x − m)² = 4p(y − n)
• 일반형 :x² + Ax + By + C = 0 (단,B ≠ 0)
• 초점  :(m,p + n)
• 준선  :y = − p + n

접선의 방정식

기울기가 주어졌을 경우

기울기가 $k\,$로 주어졌을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• (y − n)² = 4p(x − m) 일 때

$(y\,-n)=k(x-m)+\frac{p}{k}$

• (x − m)² = 4p(y − n) 일 때

$(y\,-n)=k(x\,-m)-k^2p$

접점이 주어졌을 경우

포물선 위의 점 (x₁,y)에서 접선을 그었을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• (y − n)² = 4p(x − m) 일 때

$(y_1-n\,)(y-n)=2p \left\{(x-m)+(x_1-m)\right\}$

• (x − m)² = 4p(y − n) 일 때

$(x_1-m\,)(x-m)=2p \left\{(y-n)+(y_1-n)\right\}$

포물선의 극방정식

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

$r = { \ell\over {1 + cos \theta } }$

특징

• 원뿔 곡선이다.

• 준선이 좌표축과 평행한 포물선은 이차곡선이다.

• $y=\frac{1}{2}kx^{2}$ 의 포물선의 꼭지점의 곡률 은 k이고 곡률 반지름은 $\frac{1}{k}$이다.

• 물체를 던졌을 때 나타나는 곡선은 공기 저항을 무시했을 때 포물선이다.

• 준선위의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선은 서로 수직이다.

• 축과 평행한 빛이 포물선에 반사되면 초점을 향한다. 마찬가지로 초점에서 나온 빛이 포물선에 반사되면 광축과 평행하게 나아간다.

• 초점을 지나고 준선에 평행한 직선이 포물선에 의해 잘리는 선분의 길이는 꼭지점과 초점을 잇는 선분의 길이의 4배이다.

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