포물선

포물선(抛物線)은 평면에서 초점 $F$와 준선 $L$이 주어졌을때, $F$에 이르는 거리와 $L$에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다.

포물선(抛物線)은 평면에서 어떤 점 $F$와 F를 지나지 않는 직선 $l\,$이 주어졌을때, $F$에 이르는 거리와 $l\,$에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. 이때 $F$를 초점(焦點, focus), $l\,$을 준선(準線, directrix)이라 한다. 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 대칭인데 이를 축이라 하고, 축과 포물선의 교점을 꼭지점이라 한다. 한편 준선이 y축에 수직인 포물선은 이차 함수이다.

포물선의 방정식

준선이 x축에 수직인 포물선

초점 $F$를 $F(p,0)$, 준선$l$을 $x=-p$라 하면 포물선의 방정식은

$y^2=4px$로 준선이 x축에 수직인 포물선이 된다.

이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행 이동하면

$(y\,-n)^2=4p\,(x\,-m)$ 이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 $(p+m, n)$, 준선은 $x=-p+m$이 된다.

• 표준형 :$(y-n)^2=4p(x-m)$
• 일반형 :$y^2+Ay+Bx+C=0$ (단,$B$ ≠ 0)
• 초점  :$(p+m, n)$,
• 준선  :$x=-p+m$

준선이 y축에 수직인 포물선

초점 $F$를 $F(0,p)$, 준선$l$을 $y=-p$라 하면 포물선의 방정식은 $x^2=4py$로 준선이 y축에 수직인 포물선이 된다. 이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면

$(x\,-m)^2=4p\,(y\,-n)$ 이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 $(m,p+n)$, 준선은 $y=-p+n$이 된다.

• 표준형 :$(x-m)^2=4p(y-n)$
• 일반형 :$x^2+Ax+By+C=0$ (단,$B$ ≠ 0)
• 초점  :$(m,p+n)$
• 준선  :$y=-p+n$

접선의 방정식

기울기가 주어졌을 경우

기울기가 $k\,$로 주어졌을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• $(y-n)^2=4p(x-m)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x-m)+\frac{p}{k}$

• $(x-m)^2=4p(y-n)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x\,-m)-k^2p$

접점이 주어졌을 경우

포물선 위의 점 $(x_1,y_1)$에서 접선을 그었을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• $(y-n)^2=4p(x-m)$ 일 때

$(y_1-n\,)(y-n)=2p \left\{(x-m)+(x_1-m)\right\}$

• $(x-m)^2=4p(y-n)$ 일 때

$(x_1-m\,)(x-m)=2p \left\{(y-n)+(y_1-n)\right\}$

포물선의 극방정식

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

$r = { \ell\over {1 + cos \theta } }$

특징

• 원뿔 곡선이다.

• 준선이 좌표축과 평행한 포물선은 이차곡선이다.

• $y=\frac{1}{2}kx^{2}$ 의 포물선의 꼭지점의 곡률 은 $k$이고 곡률 반지름은 $\frac{1}{k}$이다.

• 물체를 던졌을 때 나타나는 곡선은 공기 저항을 무시했을 때 포물선이다.

• 준선위의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선은 서로 수직이다.

• 축과 평행한 빛이 포물선에 반사되면 초점을 향한다. 마찬가지로 초점에서 나온 빛이 포물선에 반사되면 광축과 평행하게 나아간다.

• 초점을 지나고 준선에 평행한 직선이 포물선에 의해 잘리는 선분의 길이는 꼭지점과 초점을 잇는 선분의 길이의 4배이다.