쌍곡선

쌍곡선

쌍곡선(雙曲線)은 평면 위에 있는 두 정점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선을 말한다. 이때 기준이 되는 두 정점을 초점이라 한다.

한초점이 극히 멀어질수록 쌍곡선은 포물선에 가까워진다. 한편 쌍곡선은 초점에서 멀어질수록 점근선이라고 불리는 직선에 가까워지며, 쌍곡선의 점근선은 두 개가 있다.

직교 좌표계상의 성질

초점이 $x$축 위에 있고, 원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선은 직교 좌표계로 표현하면 다음과 같은 식이 된다.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

여기서 $a, b$는 고정된 상수값이다. $\textstyle c = \sqrt{a^2 + b^2}$일 때, 초점의 좌표는 다음과 같다.

$(-c,0), (c,0)$

쌍곡선의 이심률(Eccentricity)은 다음과 같이 정의된다.

$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$

쌍곡선의 점근선은 다음과 같게 된다.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$

즉, 두 개의 직선이 된다.

이와 별도로, 두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현가능하다.

$xy=k$

이 때, $k$는 고정된 상수이다.

기하학적 성질

다음은 직교 좌표계에서 어렵지 않게 증명가능하다.

• 쌍곡선 위의 모든 점은 두 초점과의 거리의 차가 일정하다.
• 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에 반사되면 다른 초점에서 나온 빛처럼 보인다.
• 쌍곡선 위의 점에서 점근선에 수선의 발을 내리면 그 길이의 곱은 일정하다.
• 쌍곡선 위의 한 점을 지나며 두 점근선에 평행한 두 개의 직선과 두 점근선으로 이루어진 평행사변형의 면적은 일정하다.
• 초점이 일치하는 쌍곡선과 타원은 교점에서 각각의 접선이 수직한다.

접선의 방정식

쌍곡선 $\textstyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 한 점 $(x_1 , y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$

또한, 기울기 $m$이 주어질 때의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$