판별식

이 문서는 다항 방정식의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는 수체의 판별식 문서를 참고하십시오.

수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 계수의 0이 아닌 다항식

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]$

$a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in K$

$a_{n}\neq 0$

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in K$

의 판별식은 다음과 같다.^:204

${\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}\operatorname {res} (p,p')\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

여기서

• $(-)'$는 형식적 미분이다.
• $\operatorname {res}$는 종결식이다.
• $\left|-\right|$는 행렬식이다.

성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 0이 아닌 $p\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p$는 중복근을 갖는다.
• $\operatorname {Disc} (p)=0$

예

2차 다항식

복소수 계수 2차 다항식

$p(x)=ax^{2}+bx+c$

의 판별식은 다음과 같다.

$\operatorname {Disc} (p)=b^{2}-4ac$

만약 $a$, $b$, $c$가 모두 실수일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다.

3차 다항식

복소수 계수 3차 다항식

$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

의 판별식은 다음과 같다.

$\operatorname {Disc} (p)=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$

특히, 다항식

$x^{3}+\alpha x+\beta$

의 판별식은

$-4\alpha ^{3}-27\beta ^{2}$

이다.

4차 다항식

복소수 계수 4차 다항식

$p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

의 판별식은

${\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\&\qquad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\&\qquad \qquad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$

이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial discriminant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.