판별식

대수학에서, 판별식(判別式, discriminant)이란 다항식의 계수들 간의 관계식으로, 그 근의 성질에 대한 정보를 알려 준다. 보통 $D$, $\Delta$ 등의 기호를 사용한다.

예를 들어, 다음 이차 다항식

$ax^2 + bx + c$

의 판별식은

$D = b^2 - 4ac$이다.

여기서, $a, b, c$가 실수일 때

• $D>0$이면, 이차 방정식은 두 개의 서로 다른 실근을 가지고
• $D=0$이면, 이차 방정식은 한 개의 실근을 가지고
• $D<0$이면, 이차 방정식의 해는 두 개의 서로 다른 허근을 가진다

는 사실을 알아낼 수 있다.

또, 다음 삼차 다항식

$ax^3 + bx^2 + cx + d$

의 판별식은

$D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2b^2 + 18abcd$이다.

고차 다항식에서도, 판별식은 항상 다항식들의 계수 간의 관계식이다. 이것들은 상당히 길다. 4차, 5차, 6차 다항식의 판별식은 각각 16개, 59개, 246개 항으로 이루어져 있다. 그리고, 판별식의 항의 개수는 다항식의 차수가 증가함에 따라 기하급수적으로 증가한다. 다항식이 복소수 범위에서 하나 이상의 근을 가진다는 것은 판별식이 0인 것과 동치이다. 이 개념은 다항식의 계수가 실수일 때 적용된다. 이 경우, 판별식이 사라진다는 것은 다항식의 최소 분열체(splitting field)에서 여러 근을 가진다는 것과 동치이다.

정의

공식

근에 관해서, 판별식은 다음과 같다.

$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$

$a_n$은 최고차항의 계수이고, $r_1, ... , r_n$는(중근도 포함해서 센다.)다항식의 근이다.

원뿔 곡선

원뿔 곡선의 방정식 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f= 0$에 대해, 판별식 $D$는 다음과 같이 정의된다.

$D = b^2 - 4ac$

이때 $D$의 부호에 따라 다음의 성질을 알 수 있다.

• $D>0$이면 이 방정식은 쌍곡선이다.
• $D=0$이면 이 방정식은 포물선이다.
• $D<0$이면 이 방정식은 타원이거나 원이다.