다항식

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다항식(多項式, 문화어: 여러다미식)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다.

다항식은 7x^3+(-x^2)+14x+(-9) 와 같이 다항식은 일반적으로 특정한문자를 포함하는 과 특정한 문자를 포함하지않는 항들의 합으로 이루어져있다.

다항식에 있는 문자가 한두개가 아닐 수 있으므로,어떤 문자를 특정한 대상으로 하는지 알려줘야하기때문에 (특정한 문자)에 대한 다항식이라고 표현한다.

x에 대한 다항식 (7x^3)+(-x^2)+(14x)+(-9) 에서 소괄호안에있는 식들의 각각을 다항식을 이루는 이라고 한다. 다항식의 들중에서 특정한 문자x의 차수가 가장 높은 항이 있을때, 그 항의 차수가 다항식의 차수가 된다. 예시로 제시한 위의 다항식은 x에 대한 삼차다항식이다.

또한 (특정한 문자)를 포함하지않는 항 -9를 상수항으로 따로 지칭하여부른다.

그리고 다항식의 어떤 한 경우를 특별하게 부르는 경우가 있는데, 이 경우는 항이 1개밖에 없는 경우로 단항식이라고 한다.

여기서 우리가 다항식을 나타내는데 x를 자주 쓰는 이유는 저명한 수학자 데카르트가 그의 저서에서 다항식을 특정한문자 x,y,z를 이용하여 나타내면서 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 식'을 나타내는데 문자 x,y,z를 쓰는 것이 점점 대중화되기시작하였고 현대에이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하게된다.

단항식[편집]

2x, 3xy^2와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타낸 식을 단항식이라고 한다. 단항식에서 특정한 문자에 주목할 때, 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 단항식 또는 단항식의 합으로 나타낸 식을 다항식이라고 한다. 또, n 개의 단항식으로 이루어진 식을 n항식이라고 한다.

상수 계수 1변수 다항식[편집]

x 를 변수, n을 음이 아닌 정수라고 할 때, a0, a1, ..., ann+1 개의 실수 혹은 복소수 상수라고 하자. 이러한 x 와 {ai}0 ≤ in 에 의해 다음과 같이 표현되는 것은 다항식이다.

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
  • f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 로 두자. 이 때, an ≠ 0 이 되는 최대의 n 을 이 다항식의 차수라고 부르며 deg f 로 표기한다.
  • aixi 를 이 다항식의 이라 부르며, i 를 그 항의 차수라고 부른다. 혹은 다르게 표현하여, 이 다항식의 i 차 항은 aixi 라고 말하기도 한다.
  • 각 상수 ai 를 이 다항식의 계수(係数, coefficient)라고 부른다. 특히 am (m = deg f) 를 이 다항식의 최고차계수(最高次係数, leading coefficent)라고 부른다.
  • 0 차항 a0상수항(constant term)이라고 부른다. 상수 하나는 상수항밖에 없는 다항식으로 볼 수도 있다. 차수의 정의로부터 0이 아닌 상수항만으로 구성된 다항식의 차수는 0이 된다. 그러나, 상수 0을 다항식으로 볼 때에는 편의상 차수를 - ∞로 정의한다.
  • 최고차계수가 1인 다항식을 모닉 다항식(monic polynomial)이라고 한다.

상수 계수 1변수 다항식은 합의 기호 ∑ 를 사용하여

\sum_{k=0}^n a_k x^k

로 쓸 수도 있다. 이 때에 x0 는 1 을 말한다.

계수가 속한 집합이 K 인, x 를 변수로 하는 다항식 전체의 집합을 K[x] 로 표기한다. 예를 들어 실계수 다항식 전체의 집합은 R[x], 복소수계수 다항식 전체의 집합은 C[x] 등으로 표기한다.

관련 항목[편집]