체비쇼프 다항식

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파프누티 체비쇼프의 이름을 따 명명된 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial)의 정의는 다음과 같다. n = 0, 1, 2, 3, ...에 대해,

T_n(\cos{\theta})\,=\,\cos{n\theta}

\scriptstyle \cos{nx}\scriptstyle \cos{x}n차 다항식으로 표현된다는 것은 드 무아브르의 공식(De Moivre's formula)의 실수부를 비교하여 쉽게 알 수 있다. 식의 한 쪽은 실수부(實數部 ; real part)가 \scriptstyle \cos{nx}뿐이고, 다른 한 쪽의 실수부는, \scriptstyle \cos{x}\scriptstyle \sin{x}의 다항식으로 특히 \scriptstyle \sin{x}는 모두 짝수차이다.

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게함수(weight)에 대해, 구간 [-1,1]에서 직교한다.

\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

즉,

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\quad\mbox{if}\ n\neq m.