체비쇼프 다항식

파프누티 체비쇼프의 이름을 따 명명된 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial)의 정의는 다음과 같다. $n = 0, 1, 2, 3, ...$에 대해,

$T_n(\cos{\theta})\,=\,\cos{n\theta}$

$\scriptstyle \cos{nx}$가 $\scriptstyle \cos{x}$의 n차 다항식으로 표현된다는 것은 드 무아브르의 공식(De Moivre's formula)의 실수부를 비교하여 쉽게 알 수 있다. 식의 한 쪽은 실수부(實數部 ; real part)가 $\scriptstyle \cos{nx}$뿐이고, 다른 한 쪽의 실수부는, $\scriptstyle \cos{x}$와 $\scriptstyle \sin{x}$의 다항식으로 특히 $\scriptstyle \sin{x}$는 모두 짝수차이다.

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게함수(weight)에 대해, 구간 [-1,1]에서 직교한다.

$\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

즉,

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\quad\mbox{if}\ n\neq m$.