다중지표

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수학에서, 다중지표(多重指標, 영어: multi-index)는 자연수튜플이다. 다변수 미적분학에서 복잡한 미분 연산자를 간략히 표기하기 위하여 쓰인다.

정의[편집]

n차원 다중지표 I=(I_1,I_2,\dots,I_n)\mathbb N^n의 원소다. 즉, n개의 음이 아닌 정수들의 수열이다. 다중지표들은 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 다중지표의 절댓값은 그 성분들의 합이다.

|I|=\sum_{i=1}^nI_i\in\mathbb N

조합론[편집]

다중지표의 팩토리얼은 각 성분들의 팩토리얼의 곱이다.

I!=\prod_{i=1}^nI_i!

이를 통해, 다중지표의 이항계수도 정의할 수 있다.

\binom IJ=\frac{I!}{J!(I-J)!}=\prod_{i=1}^n\binom{I_i}{J_i}

다변수 미적분학[편집]

x=(x_1,x_2,\dots,x_n)n개의 변수들의 튜플이라고 하자. 만약 다중지표 I\in\mathbb N^n이 주어졌다면, 다중지표로의 지수를 다음과 같이 정의한다.

x^I=x_1^{I_1}x_2^{I_2}\dotsb x_n^{I_n}

마찬가지로, n차원 미분다양체의 국소좌표계 (\partial/\partial x^1,\partial/\partial x^2,\dots,\partial/\partial x^n)이 주어졌다면, 다중지표에 대한 편미분을 다음과 같이 정의한다.

\partial_I=\frac\partial{\partial x^I}=\frac{\partial^{I_1}}{(\partial x^1)^{I_1}}\frac{\partial^{I_2}}{(\partial x^2)^{I_2}}\dotsb\frac{\partial^{I_n}}{(\partial x^n)^{I_n}}